AP DSC 2025 SA Mathematics Question Paper 12 June 2025 Shift 2

Hiuen Tsang (Xuanzang) travelled in India c. 630-644 CE during the reign of Harshavardhana of Kanauj and attended his assembly at Kanauj and Prayaga. Ashoka, Kanishka and the Satavahanas ruled centuries earlier.

హుయాన్‌త్సాంగ్ (క్రీ.శ. 630-644) హర్షవర్ధనుని కాలంలో భారతదేశాన్ని సందర్శించాడు; కనౌజ్, ప్రయాగ సభలకు హాజరయ్యాడు. అశోకుడు, కనిష్కుడు, శాతవాహనులు అంతకు చాలా శతాబ్దాల ముందు పాలించారు.

Srirangam Srinivasarao (Sri Sri) is known for Maha Prasthanam; 'Firadausi' is a khandakavya by Gurram Jashuva, so the pairing is wrong. The other pairs are correct: Viswanatha's Ramayana Kalpavrukshamu, Nanduri's Yenki Patalu, Jashuva's Kandiseekudu (the key marks option 3).

శ్రీరంగం శ్రీనివాసరావు (శ్రీశ్రీ) రచన 'మహాప్రస్థానం'; 'ఫిరదౌసి' గుర్రం జాషువా రచించిన ఖండకావ్యం. కాబట్టి 3వ జత సరికాదు. మిగతా జతలు సరైనవి.

Tanguturi Prakasam Panthulu, known as 'Andhra Kesari', bared his chest before the police firing/lathi charge during the 1928 anti-Simon Commission protest in Madras. Lala Lajpat Rai was injured in Lahore, not Madras.

'ఆంధ్రకేసరి' టంగుటూరి ప్రకాశం పంతులు 1928లో మద్రాస్‌లో సైమన్ కమిషన్ వ్యతిరేక నిరసనలో పోలీసుల తుపాకులకు ఎదురు నిలిచాడు. లాలా లజపతిరాయ్ గాయపడింది లాహోర్‌లో.

Shivaji (1630-1680), founder of the Maratha kingdom, fought the Mughal army of Aurangzeb (and earlier the Adil Shahi and Mughal forces under his officers). Akbar, Humayun and Tughlaq lived long before him.

మరాఠా రాజ్య స్థాపకుడైన శివాజీ (1630-1680) మొఘల్ చక్రవర్తి ఔరంగజేబు సేనలతో పోరాడాడు. అక్బర్, హుమయూన్, తుగ్లక్ అంతకంటే చాలా ముందు కాలం వారు.

Under Article 53 of the Constitution the supreme command of the Defence Forces vests in the President, to be exercised according to law. The Prime Minister and Defence Minister run the forces only through the executive.

రాజ్యాంగ ప్రకరణ 53 ప్రకారం రక్షణ దళాల సర్వోన్నత అధికారం రాష్ట్రపతికి ఉంటుంది. ప్రధానమంత్రి, రక్షణ మంత్రి కార్యనిర్వాహక వ్యవస్థ ద్వారా మాత్రమే దళాలను నడుపుతారు.

Suman Bery, an economist, became Vice Chairperson of NITI Aayog in 2022, succeeding Rajiv Kumar. Amitabh Kant was the CEO (later G20 Sherpa); Sindhushree Khullar was the first CEO of the Planning/NITI era.

ఆర్థికవేత్త సుమన్ బేరీ 2022లో రాజీవ్ కుమార్ తర్వాత నీతి ఆయోగ్ ఉపాధ్యక్షుడయ్యారు. అమితాబ్ కాంత్ CEOగా (తర్వాత G20 షెర్పాగా) పనిచేశారు.

Chadya Dandanata (Danda Nata) is a folk dance of Odisha, not Gujarat. Tamasha (Maharashtra), Dhimsa (Andhra Pradesh tribal dance, Araku) and Chhau/Chou (Odisha) are correctly matched.

చాడ్య దండనాట (దండ నాట) ఒడిషా జానపద నృత్యం, గుజరాత్‌ది కాదు. తమాషా (మహారాష్ట్ర), ధింసా (ఆంధ్రప్రదేశ్ గిరిజన నృత్యం), చౌ (ఒడిషా) సరైన జతలు.

Netaji Subhas Chandra Bose gave this call in 1944 in Burma while leading the Indian National Army (Azad Hind Fauj): 'Tum mujhe khoon do, main tumhe azaadi dunga'.

నేతాజీ సుభాష్ చంద్రబోస్ 1944లో బర్మాలో ఇండియన్ నేషనల్ ఆర్మీ (ఆజాద్ హింద్ ఫౌజ్)కి నాయకత్వం వహిస్తూ ఈ పిలుపునిచ్చారు.

PMJDY, launched on 28 August 2014, is the National Mission for Financial Inclusion: every household gets a basic bank account with RuPay debit card and accident insurance. Housing is PMAY, LPG is Ujjwala, farmer support is PM-KISAN.

PMJDY 2014 ఆగస్టు 28న ప్రారంభమైన ఆర్థిక సమ్మిళిత మిషన్; ప్రతి కుటుంబానికి బేసిక్ బ్యాంకు ఖాతా, రూపే కార్డు, ప్రమాద బీమా లభిస్తాయి. గృహాలు PMAY, గ్యాస్ ఉజ్వల, రైతు సహాయం PM-KISAN పథకాలు.

28 February is National Science Day (commemorating the Raman Effect, 1928), not 'National Physics Day'. 12 Jan (Vivekananda's birthday), 24 Jan and 8 March are correctly matched.

ఫిబ్రవరి 28ని జాతీయ విజ్ఞాన శాస్త్ర దినోత్సవంగా (రామన్ ఎఫెక్ట్, 1928) జరుపుకుంటారు; 'భౌతికశాస్త్ర దినోత్సవం' కాదు. మిగతా తేదీలు సరైనవి.

Telugu is called 'the Italian of the East' because its words end in vowels, making it melodious like Italian; the title is credited to Niccolo de Conti (15th c.). The label is not used for Hindi, Sanskrit or Tamil.

తెలుగు పదాలు అచ్చులతో అంతమవుతూ ఇటాలియన్ భాషలా మధురంగా ఉండటం వల్ల దీనిని 'ఇటాలియన్ ఆఫ్ ది ఈస్ట్' అంటారు (నికోలో డి కాంటి).

'The Unstable Earth: Some Recent Views in Geomorphology' (1932) was written by the British geographer J.A. Steers. The question follows the initial key.

'ది అన్‌స్టేబుల్ ఎర్త్' (1932) బ్రిటిష్ భౌగోళిక శాస్త్రవేత్త జె.ఏ. స్టీర్స్ రచన. ఇది ప్రాథమిక కీని అనుసరిస్తుంది.

'The Tashkent Files' (2019) revolves around the 1966 death of Prime Minister Lal Bahadur Shastri at Tashkent, shortly after signing the Tashkent Declaration with Pakistan.

2019 నాటి 'ది తాష్కెంట్ ఫైల్స్' చిత్రం 1966లో తాష్కెంట్ ఒప్పందం తర్వాత ప్రధాని లాల్ బహదూర్ శాస్త్రి మరణం చుట్టూ తిరుగుతుంది.

Cloud seeding uses silver iodide (also dry ice or salt) whose crystals act as nuclei around which water droplets condense and fall as rain.

క్లౌడ్ సీడింగ్‌లో సిల్వర్ అయోడైడ్ (లేదా డ్రై ఐస్, ఉప్పు) స్ఫటికాలు కేంద్రకాలుగా పనిచేసి నీటి బిందువులు ఏర్పడి వర్షంగా కురుస్తాయి.

Garuda Indonesia is the flag carrier of Indonesia; the Garuda (mythical bird) is also the national emblem of the country.

గరుడ ఇండోనేషియా ఆ దేశ జాతీయ విమానయాన సంస్థ; గరుడ పక్షి ఇండోనేషియా జాతీయ చిహ్నం కూడా.

Japan's currency is the Yen; the Won is the currency of South and North Korea. Barbados dollar, Belarusian rouble and Algerian dinar are correct.

జపాన్ కరెన్సీ యెన్; వాన్ (Won) దక్షిణ, ఉత్తర కొరియాల కరెన్సీ. మిగతా జతలు సరైనవి.

The home-voting (postal ballot) facility for senior citizens applies to voters aged above 85 years (and 40%+ benchmark disability) in the 2024 elections. This follows the initial key.

2024 ఎన్నికల్లో ఇంటి నుంచే ఓటు (పోస్టల్ బ్యాలట్) సౌకర్యం 85 ఏళ్లు దాటిన వారికి (మరియు 40% పైగా వికలాంగులకు) వర్తిస్తుంది. ఇది ప్రాథమిక కీని అనుసరిస్తుంది.

Mithun Chakraborty received the Dadasaheb Phalke Award for 2022, announced in September 2024 (presented at the 70th National Film Awards, October 2024). The other names are not recipients for that year.

2022 సంవత్సరపు దాదాసాహెబ్ ఫాల్కే పురస్కారాన్ని మిథున్ చక్రవర్తి అందుకున్నారు (2024 సెప్టెంబర్‌లో ప్రకటన, అక్టోబర్‌లో ప్రదానం). ఇతరులు ఆ సంవత్సర గ్రహీతలు కారు.

The Unified Pension Scheme (UPS), approved in August 2024, assures 50% of average basic pay of the last 12 months after 25 years of service; it was made effective from 1 April 2025 for central government employees.

2024 ఆగస్టులో ఆమోదించిన యూనిఫైడ్ పెన్షన్ స్కీమ్ (UPS) ప్రకారం 25 ఏళ్ల సర్వీసుకు చివరి 12 నెలల సగటు మూల వేతనంలో 50% పెన్షన్ లభిస్తుంది; ఇది 2025 ఏప్రిల్ 1 నుంచి అమలులోకి వచ్చింది.

The 2024 Summer Olympics (the 33rd Olympiad) were hosted by Paris, France, from 26 July to 11 August 2024. Los Angeles will host in 2028.

2024 వేసవి ఒలింపిక్స్ (33వది) ఫ్రాన్స్ రాజధాని పారిస్‌లో 2024 జూలై 26 నుంచి ఆగస్టు 11 వరకు జరిగాయి. 2028 ఒలింపిక్స్ లాస్ ఏంజెలెస్‌లో జరుగుతాయి.

Macaulay's Minute (1835) argued that English would revive India as Greek and Latin had revived Europe/England, supporting English-medium Western education. This is the standard attribution in DSC educational history.

1835 నాటి మెకాలే మినిట్‌లో గ్రీకు, లాటిన్ ఐరోపాను పునరుద్ధరించినట్లు ఆంగ్లం భారతదేశాన్ని పునరుద్ధరిస్తుందని చెప్పి ఆంగ్ల మాధ్యమ పాశ్చాత్య విద్యను సమర్థించారు.

Audit reports and inspection remarks by higher authorities are recorded in the Supervision and Inspection Register (also called the inspection/visit book). Correspondence, general and academic registers hold letters, admission/staff data and pupil progress respectively.

ఉన్నతాధికారుల తనిఖీ, ఆడిట్ నివేదికలు పర్యవేక్షణ మరియు తనిఖీ రిజిస్టర్‌లో నమోదు చేస్తారు. ఉత్తర-ప్రత్యుత్తర, సాధారణ, విద్యా రిజిస్టర్లలో వరుసగా లేఖలు, సాధారణ వివరాలు, విద్యార్థుల ప్రగతి ఉంటాయి.

Articles 15 and 16 (equality, non-discrimination and equal opportunity, with Article 15(3) permitting special provisions for women) are taken as the constitutional basis for women's education in the initial key. Articles 28-29 deal with religious instruction and minority cultural/educational rights; 21 (21A) with the right to education.

ప్రకరణలు 15, 16 (సమానత్వం, వివక్షత నిషేధం; 15(3) ప్రకారం మహిళలకు ప్రత్యేక ఏర్పాట్లు) ప్రాథమిక కీ ప్రకారం సమాధానం. ప్రకరణ 28-29 మత బోధన, మైనారిటీ విద్యా హక్కులు; 21(A) విద్యాహక్కు.

Under the National Child Labour Project (NCLP), special schools for rescued child labourers are run by registered NGOs/voluntary agencies through District Project Societies. The initial key marks NGOs.

జాతీయ బాలకార్మిక ప్రాజెక్ట్ (NCLP) లో బడిలో చేర్చిన బాలకార్మికుల ప్రత్యేక పాఠశాలలను జిల్లా ప్రాజెక్ట్ సొసైటీల ద్వారా స్వచ్ఛంద సంస్థలు (NGOs) నిర్వహిస్తాయి.

NEP 2020 says Anganwadi workers/teachers with 10+2 or above qualification will get a 6-month certificate programme in ECCE, while those with lower qualifications will get a 1-year diploma programme.

NEP 2020 ప్రకారం 10+2 లేదా ఆపై అర్హత ఉన్నవారికి 6 నెలల ECCE సర్టిఫికెట్ కోర్సు, అంతకంటే తక్కువ అర్హత ఉన్నవారికి 1 సంవత్సర డిప్లొమా శిక్షణ ఇస్తారు.

'Ethos' comes from the Greek word meaning character or custom (it is the root of 'ethics'). It refers to the characteristic spirit or values of a community or institution.

'Ethos' గ్రీకు పదం నుంచి వచ్చింది; దీని అర్థం స్వభావం, ఆచారం ('ethics' కి మూలం). ఒక సంస్థ లేదా సమాజపు విలువల స్ఫూర్తిని సూచిస్తుంది.

Both the Mudaliar Commission (1952-53) and NCF 2000 recommended the integrated approach, i.e. teaching values through all subjects and school activities, rather than as a separate subject. This follows the initial key.

ముదలియార్ కమిషన్ (1952-53), NCF 2000 లు అన్ని సబ్జెక్టులు, పాఠశాల కార్యక్రమాల ద్వారా విలువలు బోధించే సమీకృత పద్ధతిని సిఫారసు చేశాయి (ప్రత్యేక సబ్జెక్టుగా కాదు). ఇది ప్రాథమిక కీని అనుసరిస్తుంది.

Respecting and listening to others' views is a core democratic value (tolerance, equality, respect for differing opinions). Social values relate to cooperation and helping; permanent values to truth and non-violence.

ఇతరుల అభిప్రాయాలను గౌరవించి వినడం ప్రజాస్వామిక విలువ (సహనం, సమానత్వం). సాంఘిక విలువలు సహకారం, సహాయం; శాశ్వత విలువలు సత్యం, అహింస వంటివి.

Section 6(1) of the RTI Act 2005 gives any citizen the right to request information by written application or electronically to the Public Information Officer. Section 4(1) deals with proactive disclosure and 2(j) defines 'right to information'.

సమాచార హక్కు చట్టం సెక్షన్ 6(1) ప్రకారం ఏ పౌరుడైనా PIO కి లిఖిత పూర్వకంగా లేదా ఎలక్ట్రానిక్ రూపంలో దరఖాస్తు చేయవచ్చు. సెక్షన్ 4(1) స్వచ్ఛంద వెల్లడి; 2(j) 'సమాచార హక్కు' నిర్వచనం.

In NCF 2005, Chapter 1 is Perspective, Chapter 2 is Learning and Knowledge, Chapter 3 is Curricular Areas, School Stages and Assessment, Chapter 4 is School and Classroom Environment and Chapter 5 is Systemic Reforms. Option 2 ('Chapter 3 – Perspective') is therefore the wrongly matched pair.

NCF 2005 లో అధ్యాయం 1 దృక్పథం (Perspective), 2 అభ్యసనం-జ్ఞానం, 3 పాఠ్యప్రణాళికా రంగాలు, దశలు, మూల్యాంకనం, 4 పాఠశాల-తరగతి గది వాతావరణం, 5 వ్యవస్థాగత సంస్కరణలు. కాబట్టి 'అధ్యాయం 3 - దృక్పథం' తప్పు జత.

In Skinner's operant conditioning responses are emitted voluntarily by the organism (operants) and then strengthened by reinforcement; in classical conditioning responses are elicited by a stimulus. The initial key marks option 1.

స్కిన్నర్ కార్యసాధక నిబంధనలో ప్రాణి స్వచ్ఛందంగా ప్రదర్శించే (emitted) ప్రతిస్పందనలు బలపరచడం ద్వారా స్థిరపడతాయి; సాంప్రదాయ నిబంధనలో ఉద్దీపన ప్రతిస్పందనను రాబడుతుంది (elicited). ఇది ప్రాథమిక కీని అనుసరిస్తుంది.

The formula is the savings method, which measures retention through relearning. Counting the steps as 1 learning, 2 retention, 3 recall, 4 recognition and 5 relearning (savings), the answer is 5, which is option 2.

ఇది పొదుపు పద్ధతి (savings method), పునరభ్యసనం ద్వారా ధారణను కొలుస్తుంది. సోపానాలు: 1 అభ్యసనం, 2 ధారణ, 3 పునఃస్మరణ, 4 గుర్తింపు, 5 పునరభ్యసనం; కాబట్టి 5 = 2వ ఎంపిక.

IQ = (MA/CA) x 100 = (15/12) x 100 = 125. In Terman's classification, IQ 120-139 is 'very superior', 110-119 is 'superior' and 140 and above is 'genius/near genius', so 125 falls under very superior.

IQ = (MA/CA) × 100 = (15/12) × 100 = 125. టర్మన్ వర్గీకరణలో 120-139 'అత్యధిక ప్రజ్ఞ' (very superior), 110-119 'అధిక ప్రజ్ఞ', 140 పైన మేధావి; కాబట్టి 125 అత్యధిక ప్రజ్ఞ.

In Gardner's theory of multiple intelligences, 'self-smart' people have intrapersonal intelligence: they understand their own feelings, strengths and goals. Interpersonal is 'people smart'.

గార్డ్‌నర్ బహుళ ప్రజ్ఞా సిద్ధాంతంలో 'స్వీయ నేర్పరులు' తమ భావాలు, బలాలు, లక్ష్యాలను అర్థం చేసుకునే వ్యక్త్యంతర్గత (intrapersonal) ప్రజ్ఞ కలిగి ఉంటారు. వ్యక్త్యంతర (interpersonal) ప్రజ్ఞ ఇతరులతో సంబంధాలకు సంబంధించినది.

A plateau in the learning curve is a flat stretch where improvement temporarily stops despite continued effort, often due to fatigue, loss of motivation or a need for new methods. Initial spurt is the early rapid gain.

అభ్యసన వక్రరేఖలో పీఠభూమి (plateau) అంటే ప్రయత్నిస్తున్నా తాత్కాలికంగా పురోగతి ఆగే దశ; అలసట, ప్రేరణ తగ్గడం, కొత్త పద్ధతి అవసరం దీనికి కారణాలు. ప్రారంభ స్ఫూర్తి మొదటి వేగవంతమైన పురోగతి.

The boy avoids sin out of an internal belief and conviction, so the motivation is intrinsic. However, fear of God's punishment can also be viewed as external; the question follows the initial key (option 2).

బాలుడు తన అంతర విశ్వాసం, నమ్మకం వల్ల తప్పు చేయడు కాబట్టి ఇది అంతర్గత ప్రేరణ. దైవశిక్ష భయాన్ని బాహ్యంగా కూడా భావించవచ్చు; ప్రశ్న ప్రాథమిక కీ (2వ ఎంపిక) ను అనుసరిస్తుంది.

Insightful learning (Kohler's Gestalt theory) involves perceiving the whole situation and the relations among its parts, leading to a sudden solution ('aha' experience). Conditioning types are based on stimulus-response links.

కోహ్లర్ గెస్టాల్ట్ సిద్ధాంతంలోని అంతర్‌దృష్టి అభ్యసనం (insightful learning) లో సమస్యా సన్నివేశాన్ని మొత్తంగా గ్రహించి, భాగాల మధ్య సంబంధాన్ని చూసి ఆకస్మికంగా పరిష్కారం ('ఆహా' అనుభవం) పొందుతారు.

Imagining the wish fulfilled (daydreaming about becoming Collector after failure) is the defence mechanism of fantasy. Rationalization would give excuses for failing; displacement shifts anger to a substitute target.

కోరిక తీరినట్లు ఊహించుకుంటూ పగటి కలలు కనడం 'ఫాంటసీ' (కల్పన) రక్షకతంత్రం. హేతుకీకరణలో వైఫల్యానికి సాకులు చెబుతారు; విస్థాపనలో కోపాన్ని వేరొకరిపై చూపిస్తారు.

Persons with poor mental health withdraw from reality and live in a world of imagination and fantasy. Good adjustment, social adaptability and a realistic outlook are signs of good mental health.

మానసిక అనారోగ్యం ఉన్నవారు వాస్తవం నుంచి తప్పుకుని ఊహా ప్రపంచంలో జీవిస్తారు. మంచి సర్దుబాటు, సాంఘిక అనుకూలత, వాస్తవిక దృక్పథం ఆరోగ్యకర మనస్సు లక్షణాలు.

Personality inventory and Bell's Adjustment Inventory assess personality/adjustment. Minnesota Clerical Aptitude Test measures aptitude and Metropolitan Readiness Test measures school readiness, so b and d are not personality assessments.

మూర్తిమత్వ శోధిక, బెల్ అడ్జస్ట్‌మెంట్ ఇన్వెంటరీ వ్యక్తిత్వ/సర్దుబాటును కొలుస్తాయి. మిన్నెసోటా క్లరికల్ అప్టిట్యూడ్ టెస్ట్ సహజసామర్థ్యాన్ని, మెట్రోపాలిటన్ రెడినెస్ టెస్ట్ పాఠశాల సంసిద్ధతను కొలుస్తాయి; కాబట్టి b, d.

Since x² − 1 = (x−1)(x+1), both x=1 and x=−1 are zeros of the polynomial. x=1 gives a + b − 5 = 0 and x=−1 gives a − b − 5 = 0. Adding gives a = 5, and then b = 0.

x² − 1 = (x−1)(x+1) కాబట్టి x=1, x=−1 రెండూ బహుపది శూన్యాలు. x=1 వేస్తే a + b − 5 = 0, x=−1 వేస్తే a − b − 5 = 0. రెండింటినీ కలిపితే a = 5, అప్పుడు b = 0.

(1.5x−4y)(1.5x+4y) = 2.25x² − 16y², and 3(1.5x−4y) = 4.5x − 12y. So the product is 2.25x² − 16y² + 4.5x − 12y. Adding −4.5x + 12y + 16y² cancels everything except 2.25x².

(1.5x−4y)(1.5x+4y) = 2.25x² − 16y², 3(1.5x−4y) = 4.5x − 12y. కాబట్టి లబ్ధం 2.25x² − 16y² + 4.5x − 12y. దీనికి −4.5x + 12y + 16y² కలిపితే 2.25x² మాత్రమే మిగులుతుంది.

Let the number be x: (5/2)x + 2/3 = −7/12. So (5/2)x = −7/12 − 8/12 = −15/12 = −5/4, giving x = (−5/4)(2/5) = −1/2.

సంఖ్య x అనుకుంటే (5/2)x + 2/3 = −7/12. కాబట్టి (5/2)x = −7/12 − 8/12 = −15/12 = −5/4, అందుకే x = (−5/4)(2/5) = −1/2.

Put u = 1/√x, v = 1/√y: 2u + 3v = 2 and 4u − 9v = −1. Multiplying the first by 3 and adding: 10u = 5, so u = 1/2 and v = 1/3. Hence √x = 2, x = 4 and √y = 3, y = 9, so x/2 + y/3 = 2 + 3 = 5.

u = 1/√x, v = 1/√y అనుకుంటే 2u + 3v = 2, 4u − 9v = −1. మొదటిదాన్ని 3తో గుణించి కలిపితే 10u = 5, కాబట్టి u = 1/2, v = 1/3. అందుకే x = 4, y = 9, కాబట్టి x/2 + y/3 = 2 + 3 = 5.

Sum of zeros = −3 and sum of products of pairs = −1. α²+β²+γ² = (α+β+γ)² − 2(αβ+βγ+γα) = 9 − 2(−1) = 11. (Check: zeros are 1, −1, −3, giving 1 + 1 + 9 = 11.)

శూన్యాల మొత్తం = −3, జతల లబ్ధాల మొత్తం = −1. α²+β²+γ² = (α+β+γ)² − 2(αβ+βγ+γα) = 9 + 2 = 11. (శూన్యాలు 1, −1, −3 → 1 + 1 + 9 = 11.)

For a: the numerator is (√2−√3)² + (√2+√3)² = 10 and the denominator is 2 − 3 = −1, so a = −10. For b: (5+2√6 + 5−2√6)/(25−24) = 10, so b = 10. Hence a + b = 0.

a కోసం: లవం (√2−√3)² + (√2+√3)² = 10, హారం 2 − 3 = −1, కాబట్టి a = −10. b కోసం: (5+2√6 + 5−2√6)/(25−24) = 10, కాబట్టి b = 10. అందుకే a + b = 0.

No real roots means discriminant < 0: k² − 4(1)(16) < 0, so k² < 64. Hence −8 < k < 8.

వాస్తవ మూలాలు లేవంటే విచక్షణి < 0: k² − 4(1)(16) < 0, అంటే k² < 64. కాబట్టి −8 < k < 8.

Sum of first n even numbers = n(n+1) = 40·41 = 1640; sum of first n odd numbers = n² = 1600. So y − x = 1600 − 1640 = −40.

మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం n(n+1) = 40·41 = 1640; మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం n² = 1600. కాబట్టి y − x = 1600 − 1640 = −40.

For even n = 12 the middle term has the greatest coefficient, namely 12C6 = 12!/(6!·6!) = 924.

n = 12 సరిసంఖ్య కాబట్టి మధ్యపదం గుణకం అత్యధికం: 12C6 = 12!/(6!·6!) = 924.

3^y = 3 − 3^x must be positive (3^y > 0), so 3^x < 3, i.e. x < 1. The domain is (−∞, 1); x = 1 is excluded because it would need 3^y = 0.

3^y = 3 − 3^x ధనాత్మకం కావాలి (3^y > 0), కాబట్టి 3^x < 3, అంటే x < 1. ప్రదేశం (−∞, 1); x = 1 ఉంటే 3^y = 0 అవుతుంది, అది సాధ్యం కాదు.

Expanding along the first row: det A = 1·(3x − 4(−6)) = 3x + 24. Setting 3x + 24 = 45 gives x = 7.

మొదటి అడ్డు వరుస వెంట విస్తరిస్తే det A = 1·(3x − 4(−6)) = 3x + 24. 3x + 24 = 45 నుంచి x = 7.

The first n whole numbers are 0, 1, ..., n−1, so the range is (n−1) − 0 = n − 1, not n. The other three statements are true: mode and median are not affected by extreme values, while the mean uses every observation.

మొదటి n పూర్ణాంకాలు 0, 1, ..., n−1, కాబట్టి వ్యాప్తి = (n−1) − 0 = n − 1, n కాదు. మిగిలిన మూడు వాక్యాలు సత్యం: బాహుళకం, మధ్యగతం అంత్య విలువలచే ప్రభావితం కావు; సగటు ప్రతి పరిశీలనపై ఆధారపడుతుంది.

Runs scored in 10 overs = 4.4 × 10 = 44. Runs needed = 366 − 44 = 322 in the remaining 40 overs, so the required run rate = 322/40 = 8.05.

10 ఓవర్లలో పరుగులు = 4.4 × 10 = 44. మిగిలిన 40 ఓవర్లలో కావలసిన పరుగులు = 366 − 44 = 322. కాబట్టి అవసరమైన రన్‌రేట్ = 322/40 = 8.05.

Sum of all five = 5 × 32 = 160. Sum of a, d, e = 3 × 28 = 84. So b + c = 160 − 84 = 76 and their mean is 76/2 = 38.

ఐదు సంఖ్యల మొత్తం = 5 × 32 = 160. a, d, e మొత్తం = 3 × 28 = 84. కాబట్టి b + c = 160 − 84 = 76, వాటి సగటు 76/2 = 38.

The x-coordinate of the intersection point of the 'less than' and 'more than' ogives gives the median of the data. Hence the median is 15.5 (7.5 is the cumulative frequency, i.e. N/2).

'కంటే తక్కువ', 'కంటే ఎక్కువ' ఓజీవ్‌ల ఖండన బిందువు యొక్క x-నిరూపకమే మధ్యగతం. కాబట్టి మధ్యగతం 15.5 (7.5 అనేది సంచిత పౌనఃపున్యం, అంటే N/2).

The modal class is 0.04–0.08 (highest frequency 9). Mode = l + [(f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2)]·h = 0.04 + [(9−4)/(18−4−4)]×0.04 = 0.04 + 0.02 = 0.06.

బాహుళక తరగతి 0.04–0.08 (గరిష్ఠ పౌనఃపున్యం 9). బాహుళకం = l + [(f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2)]·h = 0.04 + [(9−4)/(18−4−4)]×0.04 = 0.04 + 0.02 = 0.06.

The second set is the first set with 10 added to every value. Adding a constant shifts the mean but not the spread, so the variance remains K.

రెండవ సమితి మొదటి సమితిలోని ప్రతి విలువకు 10 కలపగా వచ్చింది. స్థిరాంకం కలిపితే సగటు మారుతుంది కానీ విస్తృతి మారదు, కాబట్టి విస్తృతి K.

Each die has 2 vowels (A, E) among 6 faces, so P(vowel on one die) = 2/6 = 1/3. For independent dice, P(both vowels) = 1/3 × 1/3 = 1/9.

ప్రతి పాచికపై 6 తలాలలో 2 అచ్చులు (A, E) ఉన్నాయి, కాబట్టి ఒక పాచికపై అచ్చు రావడానికి సంభావ్యత 2/6 = 1/3. స్వతంత్ర పాచికలకు రెండూ అచ్చులు కావడానికి 1/3 × 1/3 = 1/9.

Total balls = 70. Balls that are neither yellow nor blue = 20 red + 25 green = 45. Probability = 45/70 = 9/14.

మొత్తం బంతులు = 70. పసుపు, నీలం కాని బంతులు = 20 ఎరుపు + 25 ఆకుపచ్చ = 45. సంభావ్యత = 45/70 = 9/14.

Red jacks, queens and kings = 2 × 3 = 6 cards, leaving 46 cards. Both black kings remain, so the probability = 2/46 = 1/23.

ఎరుపు జాకీలు, రాణులు, రాజులు = 2 × 3 = 6 కార్డులు తొలగితే 46 మిగులుతాయి. రెండు నలుపు రాజులు అలాగే ఉన్నాయి, కాబట్టి సంభావ్యత = 2/46 = 1/23.

Square numbers up to 100: 1, 4, 9, ..., 100 gives 10 numbers, so P = 0.10. Cube numbers: 1, 8, 27, 64 gives 4 numbers, so P = 0.04. Sum = 0.10 + 0.04 = 0.14.

100 వరకు వర్గ సంఖ్యలు: 1, 4, 9, ..., 100 = 10 సంఖ్యలు, కాబట్టి P = 0.10. ఘన సంఖ్యలు: 1, 8, 27, 64 = 4 సంఖ్యలు, P = 0.04. మొత్తం = 0.10 + 0.04 = 0.14.

For independent events P(A/B) = P(A) = 0.2 and P(B/A) = P(B) = 0.5. P(A∩B) = 0.2 × 0.5 = 0.1 and P(A∪B) = 0.2 + 0.5 − 0.1 = 0.6.

స్వతంత్ర ఘటనలకు P(A/B) = P(A) = 0.2, P(B/A) = P(B) = 0.5. P(A∩B) = 0.2 × 0.5 = 0.1, P(A∪B) = 0.2 + 0.5 − 0.1 = 0.6.

On the y-axis x = 0. If the ratio is m:n, x = (3m − 6n)/(m + n) = 0, so m = 2n and the ratio is 2:1.

Y-అక్షంపై x = 0. నిష్పత్తి m:n అయితే x = (3m − 6n)/(m + n) = 0, కాబట్టి m = 2n, నిష్పత్తి 2:1.

Triangle RMS has base RS (a side of the parallelogram) and apex M on the opposite side PQ, so its area is half the parallelogram's area. With PQ = (4, 5) and PS = (2, −9), the parallelogram area = |4(−9) − 5(2)| = 46. Hence area of ΔRMS = 23.

ΔRMS కు ఆధారం RS (సమాంతర చతుర్భుజ భుజం), శీర్షం M ఎదుటి భుజం PQ పై ఉంది, కాబట్టి దాని వైశాల్యం చతుర్భుజ వైశాల్యంలో సగం. PQ = (4, 5), PS = (2, −9) → వైశాల్యం = |4(−9) − 5(2)| = 46. కాబట్టి ΔRMS వైశాల్యం = 23.

The side is 2a (distance between (a,0) and (−a,0)), and the other sides are √(a² + 3a²) = 2a, so it is equilateral. Area = (√3/4)(2a)² = √3·a² = 8√3, so a² = 8 and a = 2√2.

భుజం = 2a ((a,0), (−a,0) మధ్య దూరం); ఇతర భుజాలు √(a² + 3a²) = 2a, కాబట్టి సమబాహు త్రిభుజం. వైశాల్యం = (√3/4)(2a)² = √3·a² = 8√3, కాబట్టి a² = 8, a = 2√2.

Diagonal PR = distance between (−6,0) and (−6,8) = 8. Diagonal QS = distance between (−4,3) and (−8,3) = 4. The difference is 8 − 4 = 4.

కర్ణం PR = (−6,0), (−6,8) మధ్య దూరం = 8. కర్ణం QS = (−4,3), (−8,3) మధ్య దూరం = 4. భేదం = 8 − 4 = 4.

Slope = (3 − 2.5)/(a + 7) = 0.5/(a + 7) = 1/7, so a + 7 = 3.5 and a = −3.5. Then a² − 1 = 12.25 − 1 = 11.25 = 11¼.

వాలు = (3 − 2.5)/(a + 7) = 0.5/(a + 7) = 1/7, కాబట్టి a + 7 = 3.5, a = −3.5. అప్పుడు a² − 1 = 12.25 − 1 = 11.25 = 11¼.

Divide each ratio by √((−6)² + 2² + 3²) = √49 = 7. The direction cosines are (−6/7, 2/7, 3/7); check: 36/49 + 4/49 + 9/49 = 1.

ప్రతి దిక్ సంఖ్యను √((−6)² + 2² + 3²) = √49 = 7 తో భాగిస్తే దిక్ కొసైన్లు (−6/7, 2/7, 3/7); సరిచూడండి: 36/49 + 4/49 + 9/49 = 1.

Here a = 2, 2h = 5 so h = 5/2, b = 2. tanθ = 2√(h² − ab)/(a + b) = 2√(25/4 − 4)/4 = 2(3/2)/4 = 3/4. Hence cosθ = 4/5, so θ = cos⁻¹(4/5).

a = 2, 2h = 5 కాబట్టి h = 5/2, b = 2. tanθ = 2√(h² − ab)/(a + b) = 2√(25/4 − 4)/4 = 3/4. అందుకే cosθ = 4/5, θ = cos⁻¹(4/5).

Radius² = (2+5)² + (−3−1)² = 49 + 16 = 65. Equation: (x−2)² + (y+3)² = 65, i.e. x² + y² − 4x + 6y + 13 − 65 = 0, which is x² + y² − 4x + 6y − 52 = 0.

వ్యాసార్థం² = (2+5)² + (−3−1)² = 49 + 16 = 65. సమీకరణం (x−2)² + (y+3)² = 65, అంటే x² + y² − 4x + 6y + 13 − 65 = 0, ఇది x² + y² − 4x + 6y − 52 = 0.

A rectangular hyperbola has equal transverse and conjugate axes (a = b). Then e = √(1 + b²/a²) = √2.

లంబ అతిపరావలయంలో అడ్డ అక్షం, ఉప అక్షం సమానం (a = b). కాబట్టి e = √(1 + b²/a²) = √2.

At 45°, cosec A = sec A = √2 and sin A = cos A = 1/√2. So each bracket = √2 − 1/√2 = 1/√2, and the product = 1/2.

45° వద్ద cosec A = sec A = √2, sin A = cos A = 1/√2. ప్రతి కుండలీకరణం = √2 − 1/√2 = 1/√2, కాబట్టి లబ్ధం = 1/2.

Area = ½ × AC × AB × sin A = ½ × 6 × √3 × sin 60° = 3√3 × (√3/2) = 9/2 = 4.5 cm².

వైశాల్యం = ½ × AC × AB × sin A = ½ × 6 × √3 × sin 60° = 3√3 × (√3/2) = 9/2 = 4.5 చ.సెం.మీ.

In 0° to 90°, sin, tan and sec increase, while cos, cot and cosec decrease. Only the pair Sinθ, tanθ (option 3) has both increasing.

0° నుంచి 90° వరకు sin, tan, sec విలువలు పెరుగుతాయి; cos, cot, cosec తగ్గుతాయి. రెండూ పెరిగే జత Sinθ, tanθ (ఎంపిక 3) మాత్రమే.

Sin(y − 50°) = cos(140° − y), so x + 50° = 140° − y, giving x + y = 90°. Then sin 90° − cos 90° + cos 30° = 1 − 0 + √3/2 = (2 + √3)/2.

Sin(y − 50°) = cos(140° − y), కాబట్టి x + 50° = 140° − y, అంటే x + y = 90°. అప్పుడు sin 90° − cos 90° + cos 30° = 1 − 0 + √3/2 = (2 + √3)/2.

Let side = s and ∠DAB = α. Area = s² sinα = 18√3 and BD² = 2s²(1 − cosα) = 36, so s²(1 − cosα) = 18. Dividing, sinα/(1 − cosα) = cot(α/2) = √3, so α/2 = 30° and α = 60°.

భుజం s, ∠DAB = α అనుకుంటే వైశాల్యం = s² sinα = 18√3, BD² = 2s²(1 − cosα) = 36, అంటే s²(1 − cosα) = 18. భాగిస్తే sinα/(1 − cosα) = cot(α/2) = √3, కాబట్టి α/2 = 30°, α = 60°.

Take dimensions √2, 1, 1. Base diagonal = √(2 + 1) = √3 and height = 1. The longest stick is the space diagonal, so tanθ = height/base diagonal = 1/√3, giving θ = 30°.

కొలతలు √2, 1, 1 అనుకుంటే భూమి కర్ణం = √(2 + 1) = √3, ఎత్తు = 1. అతి పెద్ద కర్ర ఘన కర్ణం, కాబట్టి tanθ = ఎత్తు/భూమి కర్ణం = 1/√3, θ = 30°.

The value of sin x (and cos x) always lies between −1 and 1. Since 26/17 > 1, Sin x = 26/17 is impossible. tan x can take any real value and |sec x| ≥ 1, so the others are possible.

sin x, cos x విలువలు ఎల్లప్పుడూ −1 నుంచి 1 మధ్య ఉంటాయి. 26/17 > 1 కాబట్టి Sin x = 26/17 సాధ్యం కాదు. tan x ఏ వాస్తవ విలువైనా కావచ్చు, |sec x| ≥ 1 కాబట్టి మిగిలినవి సాధ్యమే.

2100° = 5 × 360° + 300°, so sec 2100° = sec 300°. 300° lies in the fourth quadrant where cos is positive, so sec 300° = sec 60° = 2.

2100° = 5 × 360° + 300°, కాబట్టి sec 2100° = sec 300°. 300° నాల్గవ పాదంలో ఉంది, అక్కడ cos ధనాత్మకం, కాబట్టి sec 300° = sec 60° = 2.

By the sine rule, sinB = b·sinA/a = 4 × (3/4)/3 = 1. So ∠B = 90°.

సైన్ సూత్రం ప్రకారం sinB = b·sinA/a = 4 × (3/4)/3 = 1. కాబట్టి ∠B = 90°.

Since sec²θ − tan²θ = 1, secθ − tanθ = 3/2. Adding and subtracting: secθ = 13/12 and tanθ = −5/12. So sinθ = tanθ/secθ = −5/13. Secθ is positive (cos > 0) and sinθ is negative, so θ lies in the 4th quadrant.

sec²θ − tan²θ = 1 కాబట్టి secθ − tanθ = 3/2. కూడి, తీసివేస్తే secθ = 13/12, tanθ = −5/12. కాబట్టి sinθ = tanθ/secθ = −5/13. secθ ధనాత్మకం (cos > 0), sinθ రుణాత్మకం కాబట్టి θ నాలుగవ పాదం (Q4) లో ఉంటుంది.

Squaring both sides: |a|²+|b|²+2a·b = |a|²+|b|²−2a·b, so a·b = 0. Hence the vectors are perpendicular and the angle is 90° (the diagonals of the parallelogram are equal, i.e. it is a rectangle).

రెండు వైపులా వర్గం చేస్తే |a|²+|b|²+2a·b = |a|²+|b|²−2a·b, కాబట్టి a·b = 0. అంటే సదిశలు లంబంగా ఉంటాయి, కోణం 90° (సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు సమానమైతే అది దీర్ఘచతురస్రం).

a × b = i(15−6) − j(−10−3) + k(4+3) = 9i + 13j + 7k. Area = |a × b| = √(81+169+49) = √299 square units.

a × b = i(15−6) − j(−10−3) + k(4+3) = 9i + 13j + 7k. వైశాల్యం = |a × b| = √(81+169+49) = √299 చ.యూనిట్లు.

By the triangle law, OB = OA + AB = (1+3)i + (3−2)j + (2+1)k = 4i + j + 3k. Option 1 would be AB − OA, which is a wrong order of subtraction.

త్రిభుజ నియమం ప్రకారం OB = OA + AB = (1+3)i + (3−2)j + (2+1)k = 4i + j + 3k. ఎంపిక 1 అనేది AB − OA, ఇది తప్పు క్రమంలో తీసివేత.

Use ∫ dx/(x²+a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + c with a = 3. So the integral = (1/3) tan⁻¹(x/3) + c.

∫ dx/(x²+a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + c సూత్రంలో a = 3 తీసుకుంటే సమాకలనం = (1/3) tan⁻¹(x/3) + c.

Write sin ax/sin bx = (sin ax/ax)·(bx/sin bx)·(a/b). As x→0 both standard limits tend to 1, so the limit is a/b.

sin ax/sin bx = (sin ax/ax)·(bx/sin bx)·(a/b) అని రాయవచ్చు. x→0 అయినప్పుడు రెండు ప్రామాణిక అవధులు 1 అవుతాయి, కాబట్టి అవధి a/b.

sin x cos x = (1/2) sin 2x, so f(x) = eˣ + (1/2) sin 2x. Differentiating, f′(x) = eˣ + cos 2x.

sin x cos x = (1/2) sin 2x కాబట్టి f(x) = eˣ + (1/2) sin 2x. అవకలనం చేస్తే f′(x) = eˣ + cos 2x.

Integrate by parts: ∫x sin x dx = −x cos x + sin x. At π/2 this is 0 + 1 = 1 and at 0 it is 0, so the value is 1.

ఖండశః సమాకలనం: ∫x sin x dx = −x cos x + sin x. π/2 వద్ద విలువ 0 + 1 = 1, 0 వద్ద 0. కాబట్టి విలువ 1.

(i) 2000 g : 500 g = 4 : 1 and 10 : 2.5 = 4 : 1, so true. (ii) 20 s : 10800 s = 1 : 540 but 100 cm : 900 cm = 1 : 9, so false. (iii) 100 paise : 10 paise = 10 : 1 and 10 mm : 1 mm = 10 : 1, so true. Hence only (i) and (iii).

(i) 2000 గ్రా : 500 గ్రా = 4 : 1, 10 : 2.5 = 4 : 1, కాబట్టి సత్యం. (ii) 20 సె : 10800 సె = 1 : 540, కానీ 100 సెం.మీ : 900 సెం.మీ = 1 : 9, కాబట్టి అసత్యం. (iii) 100 పైసలు : 10 పైసలు = 10 : 1, 10 మి.మీ : 1 మి.మీ = 10 : 1, కాబట్టి సత్యం. కాబట్టి (i) మరియు (iii) మాత్రమే.

For 2 years, CI − SI = P(r/100)². So P × (4/100)² = 10, i.e. P × 1/625 = 10, giving P = ₹6250.

2 సంవత్సరాలకు CI − SI = P(r/100)². కాబట్టి P × (4/100)² = 10, అంటే P/625 = 10, P = ₹6250.

Take expenses 12, 13, 15 (total 40). Increases: 12×0.2 = 2.4, 13×0.3 = 3.9, 15×0.5 = 7.5, total 13.8. Percentage increase = 13.8/40 × 100 = 34.5%.

ఖర్చులు 12, 13, 15 (మొత్తం 40) అనుకోండి. పెరుగుదల: 12×0.2 = 2.4, 13×0.3 = 3.9, 15×0.5 = 7.5, మొత్తం 13.8. శాతం పెరుగుదల = 13.8/40 × 100 = 34.5%.

Food left after 12 days is enough for 180 boys for 25 days. Now 150 boys remain, so days = 180 × 25 / 150 = 30 days (inverse proportion).

12 రోజుల తర్వాత మిగిలిన ఆహారం 180 మందికి 25 రోజులకు సరిపోతుంది. ఇప్పుడు 150 మంది ఉన్నారు, కాబట్టి రోజులు = 180 × 25 / 150 = 30 (విలోమ అనుపాతం).

Let the selling price of 1 apple be s. Then 12 × CP = 18s, so CP = 1.5s per apple. Loss = (1.5s − s)/1.5s × 100 = 33 1/3 %.

ఒక ఆపిల్ అమ్మకం ధర s అనుకోండి. 12 × CP = 18s, కాబట్టి ఒక్కొక్క ఆపిల్ కొన్న ధర CP = 1.5s. నష్టం = (1.5s − s)/1.5s × 100 = 33 1/3 %.

3A = 2B = 4C gives A : B : C = 1/3 : 1/2 : 1/4 = 4 : 6 : 3 (multiply by 12). Total parts 13, so one part = 1170/13 = ₹90. Shares are ₹360, ₹540, ₹270.

3A = 2B = 4C అయితే A : B : C = 1/3 : 1/2 : 1/4 = 4 : 6 : 3 (12 తో గుణించగా). మొత్తం 13 భాగాలు, ఒక భాగం = 1170/13 = ₹90. వాటాలు ₹360, ₹540, ₹270.

Numbers ending in 1: 1, 11, ..., 61 (7 numbers). Numbers ending in 9: 9, 19, ..., 69 (7 numbers). Total 14 out of 70 = 20%.

ఒకట్ల స్థానంలో 1 ఉన్నవి: 1, 11, ..., 61 (7 సంఖ్యలు). 9 ఉన్నవి: 9, 19, ..., 69 (7 సంఖ్యలు). మొత్తం 14/70 = 20%.

LCM of 9, 18, 24, 32 = 2⁵ × 3² = 288. Multiples: 288 × 3 = 864 (3 digits), 288 × 4 = 1152, the smallest 4-digit multiple.

9, 18, 24, 32 ల క.సా.గు = 2⁵ × 3² = 288. గుణిజాలు: 288 × 3 = 864 (3 అంకెలు), 288 × 4 = 1152, ఇదే అతిచిన్న 4 అంకెల గుణిజం.

A fraction in lowest terms terminates if the denominator has only factors 2 and 5. (i) 125 = 5³, yes. (ii) 143/110 = (11×13)/(2×5×11) = 13/10, yes. (iii) 9/15 = 3/5, yes. So all three terminate.

కనిష్ఠ రూపంలో హారంలో 2, 5 లు మాత్రమే కారణాంకాలుగా ఉంటే భిన్నం అంతమవుతుంది. (i) 125 = 5³, అవును. (ii) 143/110 = (11×13)/(2×5×11) = 13/10, అవును. (iii) 9/15 = 3/5, అవును. కాబట్టి మూడూ అంతమవుతాయి.

log₄(log₆ x) = 8^(1/3) = 2, so log₆ x = 16 and x = 6¹⁶. log₂₇ y = 3⁻¹ = 1/3, so y = 27^(1/3) = 3. HCF(6¹⁶, 3) = 3.

log₄(log₆ x) = 8^(1/3) = 2, కాబట్టి log₆ x = 16, x = 6¹⁶. log₂₇ y = 3⁻¹ = 1/3, కాబట్టి y = 27^(1/3) = 3. గ.సా.కా(6¹⁶, 3) = 3.

a = −3b. Then −3b + b + 8 = 0 gives b = 4, so a = −12. Check: −12 ÷ 4 = −3 and −12 + 4 + 8 = 0.

a = −3b. అప్పుడు −3b + b + 8 = 0 కాబట్టి b = 4, a = −12. సరిచూడగా −12 ÷ 4 = −3 మరియు −12 + 4 + 8 = 0.

Division distributes over addition/subtraction in the dividend: (a − b) ÷ c = a÷c − b÷c, so option 4 is true (both sides = 15/16). Option 1: 16 ≠ 1/16. Option 2: 4 ≠ 64. Option 3: 1/2 ≠ 2. Division is neither commutative nor associative.

భాజ్యంలో కూడిక/తీసివేతపై భాగహారం విభాగ ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది: (a − b) ÷ c = a÷c − b÷c. కాబట్టి ఎంపిక 4 సత్యం (రెండు వైపులా 15/16). ఎంపిక 1: 16 ≠ 1/16. ఎంపిక 2: 4 ≠ 64. ఎంపిక 3: 1/2 ≠ 2. భాగహారం వినిమయ, సహచర ధర్మాలను పాటించదు.

2.4³ = 13.824, 2.5³ = 15.625 and 2.6³ = 17.576. So the value = 2.4 + 2.5 − 2.6 = 2.3.

2.4³ = 13.824, 2.5³ = 15.625, 2.6³ = 17.576. కాబట్టి విలువ = 2.4 + 2.5 − 2.6 = 2.3.

The sum = 111(a+b+c) = 3 × 37 × (a+b+c). So it is always divisible by a+b+c, 3 and 37, but not necessarily by 17.

మొత్తం = 111(a+b+c) = 3 × 37 × (a+b+c). కాబట్టి ఇది ఎల్లప్పుడూ a+b+c, 3, 37 లచే భాగించబడుతుంది, కానీ 17 చే తప్పనిసరిగా కాదు.

A = {2, 5, 10, 17} and B = {3, −3}. They are disjoint, so n(A−B) = 4, n(A∩B) = 0, n(A∪B) = 6 and n(B−A) = 2. Only option 4 is true.

A = {2, 5, 10, 17}, B = {3, −3}. ఇవి వియుక్త సమితులు, కాబట్టి n(A−B) = 4, n(A∩B) = 0, n(A∪B) = 6, n(B−A) = 2. ఎంపిక 4 మాత్రమే సత్యం.

A rectangle has all angles 90° but its adjacent sides need not be equal, so not every rectangle is a square. The other statements are true (the last follows the inclusive definition of a trapezium used in this syllabus).

దీర్ఘచతురస్రంలో అన్ని కోణాలు 90° అయినా ఆసన్న భుజాలు సమానం కానవసరం లేదు, కాబట్టి ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం చతురస్రం కాదు. మిగిలిన వాక్యాలు సరైనవే (చివరిది ఈ సిలబస్ లోని సమలంబ చతుర్భుజ నిర్వచనం ప్రకారం).

By the Basic Proportionality Theorem, AD/DB = AE/EC. So AE = (2.3/6.9) × 4.5 = (1/3) × 4.5 = 1.5 cm.

ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం ప్రకారం AD/DB = AE/EC. కాబట్టి AE = (2.3/6.9) × 4.5 = (1/3) × 4.5 = 1.5 సెం.మీ.

Radius = 13 cm. The perpendicular from the centre bisects the chord, so half-chord = 5 cm. Distance = √(13² − 5²) = √144 = 12 cm.

వ్యాసార్థం = 13 సెం.మీ. కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీసిన లంబం జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది, కాబట్టి అర్ధ జ్యా = 5 సెం.మీ. దూరం = √(13² − 5²) = √144 = 12 సెం.మీ.

For a quadrilateral circumscribing a circle, the sums of opposite sides are equal: KL + MN = KN + LM. So 12 + 18 = 14 + LM, giving LM = 16 cm.

వృత్తాన్ని పరిహిత చేసే చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాల మొత్తాలు సమానం: KL + MN = KN + LM. కాబట్టి 12 + 18 = 14 + LM, LM = 16 సెం.మీ.

180° − A = 3A gives A = 45°. Complement = 45° and supplement = 135°. Their sum = 180°.

180° − A = 3A కాబట్టి A = 45°. పూరక కోణం = 45°, సంపూరక కోణం = 135°. వీటి మొత్తం = 180°.

Each interior angle of an equilateral triangle is 60°, so each exterior angle is 120°. The exterior angle equals the sum of the two interior opposite angles, and each opposite angle is 60°. Ratio = 120 : 60 = 2 : 1.

సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతి అంతర కోణం 60°, కాబట్టి బాహ్యకోణం 120°. అంతరాభిముఖ కోణం 60°. నిష్పత్తి = 120 : 60 = 2 : 1.

The sides must be integers with a + b + c = 12 and the sum of any two greater than the third (each side < 6). The valid triples are (4, 4, 4), (3, 4, 5) and (2, 5, 5). So 3 triangles are possible.

భుజాలు పూర్ణ సంఖ్యలై a + b + c = 12 అవ్వాలి, ఏ రెండు భుజాల మొత్తం మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువ (ప్రతి భుజం < 6). సాధ్యమయ్యే త్రిపుటులు (4, 4, 4), (3, 4, 5), (2, 5, 5). కాబట్టి 3 త్రిభుజాలు.

The diagonals of a rectangle are equal and bisect each other, so CO = OR: x²+3x+7 = x²+4x+5, giving x = 2. Then CO = 4+6+7 = 17, so a diagonal = 2 × 17 = 34.

దీర్ఘచతురస్రంలో కర్ణాలు సమానం మరియు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి, కాబట్టి CO = OR: x²+3x+7 = x²+4x+5, x = 2. అప్పుడు CO = 4+6+7 = 17, కర్ణం = 2 × 17 = 34.

Let l = 2k and h = √3k; then r = √(l²−h²) = k. In the right triangle cos θ = r/l = 1/2, so the angle between radius and slant height is 60° (option 4).

l = 2k, h = √3k అనుకుంటే r = √(l²−h²) = k. లంబకోణ త్రిభుజంలో cos θ = r/l = 1/2, కాబట్టి వ్యాసార్థం, వాలు ఎత్తు మధ్య కోణం 60° (ఎంపిక 4).

Cuboid volume = 10×6×2 = 120 cm³. Cone volume = (1/3)(22/7)(9)(7) = 66 cm³. Wastage = 54 cm³, i.e. 54/120 × 100 = 45%.

దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం = 10×6×2 = 120 ఘ.సెం.మీ. శంఖువు ఘనపరిమాణం = (1/3)(22/7)(9)(7) = 66 ఘ.సెం.మీ. వృథా = 54 ఘ.సెం.మీ, అంటే 54/120 × 100 = 45%.

A parallelogram with equal adjacent sides is a rhombus, whose area = (1/2) × d₁ × d₂. So 65 = (1/2) × 13 × AC, giving AC = 10 cm.

ఆసన్న భుజాలు సమానమైన సమాంతర చతుర్భుజం రాంబస్ (సమచతుర్భుజం). దాని వైశాల్యం = (1/2) × d₁ × d₂. కాబట్టి 65 = (1/2) × 13 × AC, AC = 10 సెం.మీ.

Revolving about the side 12 cm gives a cone with h = 12, r = 5, l = 13. CSA = πrl = 65π and TSA = πr(l+r) = 5π × 18 = 90π. Ratio = 65 : 90 = 13 : 18.

12 సెం.మీ భుజం చుట్టూ తిప్పితే h = 12, r = 5, l = 13 గల శంఖువు ఏర్పడుతుంది. వక్రతల వైశాల్యం = πrl = 65π, సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr(l+r) = 5π × 18 = 90π. నిష్పత్తి = 65 : 90 = 13 : 18.

X, H and O each have both a horizontal and a vertical line of symmetry. C and B have only horizontal symmetry, while T, Y and A have only vertical symmetry; Z has none.

X, H, O అక్షరాలన్నింటికీ క్షితిజ సమాంతర మరియు లంబ సౌష్ఠవ రేఖలు రెండూ ఉంటాయి. C, B లకు క్షితిజ సమాంతర రేఖ మాత్రమే; T, Y, A లకు లంబ రేఖ మాత్రమే ఉంటుంది; Z కు ఏదీ లేదు.

Side = ∛216 = 6 cm. The space diagonal of a cube = √3 × side = 6√3 cm.

భుజం = ∛216 = 6 సెం.మీ. ఘనం యొక్క కర్ణం = √3 × భుజం = 6√3 సెం.మీ.

Joining the mid-points of the sides of a rhombus gives a rectangle whose sides are half the diagonals: 3.5 cm and 1.5 cm. Perimeter = 2(3.5 + 1.5) = 10 cm.

రాంబస్ భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపితే దీర్ఘచతురస్రం ఏర్పడుతుంది, దాని భుజాలు కర్ణాల సగం: 3.5 సెం.మీ మరియు 1.5 సెం.మీ. చుట్టుకొలత = 2(3.5 + 1.5) = 10 సెం.మీ.

2(l + b) = 5b gives l = 1.5b. Area: 1.5b² = 216, so b² = 144 and b = 12 cm. Hence l = 18 cm.

2(l + b) = 5b కాబట్టి l = 1.5b. వైశాల్యం: 1.5b² = 216, b² = 144, b = 12 సెం.మీ. కాబట్టి l = 18 సెం.మీ.

In 10 minutes the minute hand turns 60°, so the tip covers an arc = (60/360) × 2π × 14 = (1/6) × 88 = 14 2/3 cm.

10 నిమిషాలలో నిమిషాల ముల్లు 60° తిరుగుతుంది, కాబట్టి దాని కొన ప్రయాణించే చాపం = (60/360) × 2π × 14 = (1/6) × 88 = 14 2/3 సెం.మీ.

Francis Bacon called mathematics the gateway and key of all sciences (iv); Aristotle defined it as the science of quantity (i); Kant described it as the indispensable instrument of all physical researches (ii). 'Indirect measurement' (iii) is left over, so only option 3 fits.

ఫ్రాన్సిస్ బేకన్ గణితాన్ని సకల శాస్త్రాలకు ద్వారం, తాళం చెవి (iv) అన్నాడు; అరిస్టాటిల్ దీనిని పరిమాణశాస్త్రం (i) అన్నాడు; కాంట్ దీనిని భౌతిక పరిశోధనలన్నింటికీ తప్పనిసరి పనిముట్టు (ii) అన్నాడు. కాబట్టి సరైన జత A-iv, B-i, C-ii (3వ ఎంపిక).

This statement on the importance of the history of mathematics is credited to the British mathematician J.W.L. Glaisher. He stressed that mathematics loses its meaning and interest when it is taught cut off from its historical development.

గణిత చరిత్ర ప్రాముఖ్యతను తెలిపే ఈ వ్యాఖ్య బ్రిటిష్ గణిత శాస్త్రవేత్త జె.డబ్ల్యూ.ఎల్. గ్లైషియర్‌ది. చరిత్ర నుండి వేరు చేసి బోధిస్తే గణితం అర్థం, ఆసక్తి కోల్పోతుందని ఆయన నొక్కి చెప్పాడు.

Alfred North Whitehead co-authored Principia Mathematica with Bertrand Russell, and together they argued that mathematics is an extension of logic (logicism), so no one could show where logic ends and mathematics begins. Hilbert represents the formalist school instead.

వైట్‌హెడ్, బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్‌తో కలిసి 'ప్రిన్సిపియా మ్యాథమేటికా' రచించాడు. గణితం తర్కానికి కొనసాగింపే (తార్కికవాదం - logicism) కాబట్టి తర్కం ఎక్కడ ముగిసి గణితం ఎక్కడ మొదలవుతుందో చూపలేరని వారు వాదించారు. హిల్బర్ట్ ఫార్మలిస్టు వాదానికి చెందినవాడు.

Inductive reasoning generalises from a few cases, so it cannot be used as a valid proof in mathematics. Deductive reasoning looks simple, but errors in premises or in the chain of logic can lead to wrong conclusions, so both statements are correct (option 3).

ఆగమన వివేచన కొన్ని సందర్భాల నుండి సాధారణీకరిస్తుంది కాబట్టి గణితంలో నిరూపణగా చెల్లదు. నిగమన వివేచన సరళంగా కనిపించినా ఉపపరికల్పనలు లేదా తర్క క్రమంలో లోపాలుంటే తప్పు నిర్ణయాలు రావచ్చు. కాబట్టి రెండు ప్రవచనాలూ సరైనవే (3వ ఎంపిక).

The Pythagoreans kept their work secret, and it became known to the world through the writings of Philolaus (spelt 'Phyllodus' in the paper). Option 3 is the official key.

పైథాగరియన్లు తమ కృషిని రహస్యంగా ఉంచారు; ఫిలోలాస్ (పేపర్‌లో 'ఫిలోడస్') రచనల ద్వారానే అది ప్రపంచానికి తెలిసింది. అధికారిక కీ ప్రకారం 3వ ఎంపిక.

India issued the first commemorative postage stamp honouring Srinivasa Ramanujan in 1962, on his 75th birth anniversary. His birth anniversary, 22 December, is celebrated as National Mathematics Day.

రామానుజన్ 75వ జయంతి సందర్భంగా 1962లో భారత ప్రభుత్వం ఆయన గౌరవార్థం మొదటి తపాలా బిళ్లను విడుదల చేసింది. డిసెంబర్ 22 ఆయన జయంతిని జాతీయ గణిత దినోత్సవంగా జరుపుకుంటాం.

As per the initial key, Aryabhatta is taken as the mathematician who suggested using letters for unknown quantities. Pythagoras, Gauss and Archimedes are known for other contributions. Historians also credit Brahmagupta and Diophantus with symbolic notation, so the question is arguable; the answer follows the key.

ప్రాథమిక కీ ప్రకారం అవ్యక్త రాశులకు అక్షరాలు వాడవచ్చని మొదట సూచించినది ఆర్యభట్ట. పైథాగరస్, గాస్, ఆర్కిమెడిస్ ఇతర కృషికి ప్రసిద్ధులు. బ్రహ్మగుప్తుడు/డయోఫాంటస్ పేర్లు కూడా చెప్పబడతాయి కాబట్టి ఇది చర్చనీయాంశం; కీని అనుసరించండి.

Intuitionism holds that mathematics is a construction of the human mind; Henri Poincare (with L.E.J. Brouwer, usually named as its founder) is associated with it. Whitehead and Russell belong to logicism and Hilbert to formalism.

గణితం మానవ మనస్సు నిర్మాణమని చెప్పే అంతర్బుద్ధి వాదంతో హెన్రీ పొయింకేర్ (సాధారణంగా వ్యవస్థాపకుడిగా బ్రౌవర్ పేర్కొనబడతాడు) ముడిపడి ఉన్నాడు. వైట్‌హెడ్, రస్సెల్ తార్కికవాదానికి, హిల్బర్ట్ ఫార్మలిజానికి చెందినవారు.

The initial key marks option 4 (both incorrect). Establishing a relationship between quantities is commonly treated as an understanding-type specification and correcting an error as diagnosing, so this question is arguable; the answer follows the initial key.

ప్రాథమిక కీ 4వ ఎంపిక (రెండూ సరికానివి) ఇచ్చింది. రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని స్థాపించడం సాధారణంగా అవగాహన స్పష్టీకరణగా, దోషాన్ని సవరించడం నిర్ధారణగా పరిగణిస్తారు కాబట్టి ఈ ప్రశ్న చర్చనీయాంశం; సమాధానం ప్రాథమిక కీని అనుసరిస్తుంది.

Albert Einstein expressed this wonder: how can mathematics, a product of human thought, fit the objects of reality so admirably? It is the often-quoted 'unreasonable effectiveness' idea.

మానవ ఆలోచనల ఫలితమైన గణితం వాస్తవ ప్రపంచ వస్తువులకు ఇంత చక్కగా ఎలా సరిపోతుందని ఐన్‌స్టీన్ ఆశ్చర్యం వ్యక్తం చేశాడు.

Predicting the shape of a cut (truncated) cone requires using known ideas in a new situation, which is a specification of the Application objective. Skill involves drawing or handling instruments, and knowledge only recall.

తెలిసిన భావనలను కొత్త సందర్భంలో ఉపయోగించి కత్తిరించిన శంఖువు ఆకారాన్ని ఊహించడం 'వినియోగం' లక్ష్యానికి చెందిన స్పష్టీకరణ. నైపుణ్యం అంటే పరికరాలతో గీయడం, జ్ఞానం అంటే కేవలం స్మరణ.

Recognised principles of curriculum construction include flexibility, utilitarian value, activity, child-centredness and integration. 'Principle of difficulty' is not one of them, so it is the answer.

విద్యా ప్రణాళిక నిర్మాణ సూత్రాలలో మార్పునకు వీలు, ప్రయోజన విలువ, కృత్యాధార (వ్యాసక్తి), శిశు కేంద్రీకృతం మొదలైనవి ఉన్నాయి. 'కఠినతా సూత్రం' వాటిలో లేదు.

In the spiral method a concept is introduced early and revisited later at a higher level of depth, so learning builds like a spiral. The key follows the spiral method here.

సర్పిల పద్ధతిలో ఒక భావనను ముందుగా పరిచయం చేసి, తర్వాత ఉన్నత స్థాయిలో మళ్లీ అభ్యసింపజేస్తారు. అందువల్ల అభ్యసనం సర్పిలంగా విస్తరిస్తుంది; కీ ప్రకారం సమాధానం సర్పిల పద్ధతి.

Good textbook examples must suit the situation, be clear and be related to the text so that all learners can follow the concept. Overly complex, gifted-only or unrelated examples defeat the purpose.

మంచి పాఠ్యగ్రంథ ఉదాహరణలు సందర్భానికి తగినట్లు, స్పష్టంగా, పాఠ్యాంశంతో సంబంధం కలిగి ఉండాలి. అతి క్లిష్టమైనవి, ప్రతిభావంతులకే పరిమితమైనవి, సంబంధం లేనివి అభ్యసనకు ఉపయోగపడవు.

The preface of a textbook states its scope, its advantages/uses and its objectives, orienting the reader before the content begins. As per the initial key, 'values' is not counted, so the answer is A, B, C.

పాఠ్యగ్రంథ పీఠికలో గ్రంథ పరిధి, ప్రయోజనాలు, లక్ష్యాలు తెలుపబడతాయి. కీ ప్రకారం 'విలువలు' లెక్కలోకి రావు, కాబట్టి సమాధానం A, B, C.

The heuristic (discovery) method lets learners find results themselves through trial and error. Mistakes are therefore treated as valuable learning opportunities, not as failures.

అన్వేషణ పద్ధతిలో విద్యార్థులు ప్రయత్న-దోష విధానంతో స్వయంగా కనుగొంటారు. కాబట్టి తప్పులు ఓటమి కాదు, విలువైన అభ్యసన అవకాశాలు.

"Education is life, not a preparation for life" is the famous statement of the American philosopher and educationist John Dewey, a proponent of pragmatism and learning by doing.

"విద్య అంటే జీవితమే, జీవితానికి సన్నాహం కాదు" అనే ప్రసిద్ధ వాక్యం ప్రయోజనవాద తత్వవేత్త జాన్ డ్యూయీది.

The aim of problem solving is transfer of learning, so the key to success is the ability to apply learned concepts in new situations rather than speed, count or error-free work.

సమస్యా పరిష్కారం యొక్క లక్ష్యం అభ్యసన బదిలీ; కాబట్టి నేర్చుకున్న భావనలను కొత్త సందర్భాల్లో వినియోగించగల సామర్థ్యమే విజయానికి ముఖ్యం, వేగం/సంఖ్య కాదు.

Project method suits topics linked to real-life activity, such as discount, where students can survey shops, collect prices and calculate. Area of a circle and surface area of a sphere are better taught by other methods.

ప్రాజెక్టు పద్ధతి నిజ జీవిత కృత్యాలతో ముడిపడిన అంశాలకు అనువైనది. డిస్కౌంట్‌లో విద్యార్థులు దుకాణాల ధరలు సేకరించి లెక్కించవచ్చు; కీ ప్రకారం సమాధానం డిస్కౌంట్.

A unit plan covers content analysis, objectives, teaching learning material and evaluation. As per the initial key, 'teaching strategies' is the item treated as not included, so option 2 is chosen.

యూనిట్ పథకంలో విషయ విశ్లేషణ, లక్ష్యాలు, బోధనాభ్యసన సామగ్రి, మూల్యాంకనం ఉంటాయి. ప్రాథమిక కీ ప్రకారం 'బోధనా వ్యూహాలు' లేనిదిగా పరిగణించబడింది (2వ ఎంపిక).

This definition of a lesson plan, as an outline of the important points arranged in order of presentation, is attributed to C.V. Good in his Dictionary of Education.

పాఠ్య పథకాన్ని ప్రదర్శన క్రమంలో అమర్చిన ముఖ్యాంశాల రూపరేఖగా నిర్వచించినది సి.వి. గుడ్ (Dictionary of Education).

Herbart's five formal steps are preparation, presentation, association (comparison), generalisation and application. 'Response' is not one of them.

హెర్బార్ట్ ఐదు సోపానాలు: సన్నాహం, సమర్పణ, సంసర్గం (పోలిక), సామాన్యీకరణ, వినియోగం. 'ప్రతిస్పందన' వాటిలో లేదు.

As per the initial key, this definition of a unit is credited to Preston. Herbart is linked with lesson-planning steps and Galton with heredity studies.

ప్రాథమిక కీ ప్రకారం ఈ యూనిట్ నిర్వచనం ప్రెస్టన్‌ది. హెర్బార్ట్ పాఠ్య పథక సోపానాలకు, గాల్టన్ వంశపారంపర్య అధ్యయనాలకు సంబంధించినవారు.

As per the initial key, Demonstrations are the influential experience in the 'learning through observation' category of Dale's Cone. The other options belong to nearby levels of the cone, so the question is somewhat arguable; follow the key.

ప్రాథమిక కీ ప్రకారం డేల్ శంఖులో 'పరిశీలన ద్వారా అభ్యసన' విభాగంలో ప్రభావవంతమైన అనుభవం ప్రదర్శనలు (Demonstrations). ఇతర ఎంపికలు శంఖులోని సమీప స్థాయులవి; కీని అనుసరించండి.

Dale's Cone of Experience shows that the more direct and active the experience, the higher the retention; passive experiences such as reading or listening lead to low retention.

డేల్ శంఖు ప్రకారం ప్రత్యక్ష, క్రియాత్మక అనుభవం ఎంత ఎక్కువైతే ధారణ అంత ఎక్కువ; చదవడం, వినడం వంటి నిష్క్రియ అనుభవాలలో ధారణ తక్కువ.

Teaching learning material should be chosen mainly for compatibility with the objectives, along with availability. The initial key marks B, C; since option B says 'availability only', the wording is arguable, but follow the key.

బోధనాభ్యసన సామగ్రి ఎంపికలో ముఖ్యంగా లక్ష్యాలకు అనుకూలత, లభ్యత చూడాలి. ప్రాథమిక కీ B, C; 'B సౌలభ్యం మాత్రమే' అనే పదజాలం చర్చనీయాంశమైనా కీని అనుసరించండి.

As per the initial key, the bulletin board is used to display vocabulary, symbols and revision points of a lesson. A peg board and geo board are used for number or geometry activities, and the blackboard is a general aid.

ప్రాథమిక కీ ప్రకారం పాఠంలోని పదజాలం, సంకేతాలు, పునఃశ్చరణ అంశాలను ప్రదర్శించడానికి బులెటిన్ బోర్డ్ వాడతారు. పెగ్ బోర్డ్, జియో బోర్డ్ సంఖ్యా/జ్యామితీయ కృత్యాలకు.

Enrichment for gifted students broadens and deepens learning: giving historical developments of topics and appreciating their good work are enrichment activities. Limiting divergent thinking is harmful, so only i and ii are correct.

ప్రతిభావంతులకు అభివృద్ధి కార్యక్రమాలు అభ్యసనాన్ని విస్తరింపజేసి లోతుగా చేస్తాయి: అంశాల చారిత్రక అభివృద్ధిని అందించడం, వారి కృషిని అభినందించడం సరైనవి. విభిన్న ఆలోచనను పరిమితం చేయడం హానికరం; కాబట్టి i, ii మాత్రమే సరైనవి.

Games and laboratory activities help slow learners grasp concepts through concrete experience, so I is correct. Olympiad and national talent test items are meant for gifted students, not slow learners, so II is incorrect.

క్రీడలు, ప్రయోగశాలా కృత్యాలు మందాభ్యాసకులకు మూర్త అనుభవం ద్వారా భావనలు అర్థమయ్యేలా చేస్తాయి కాబట్టి I సరైనది. ఒలంపియాడ్, ప్రతిభాన్వేషణ పరీక్షాంశాలు ప్రతిభావంతులకు తగినవి కాబట్టి II సరికాదు.

A teacher of slow learners needs to be resourceful in finding varied aids, efficient in handling them patiently and an expert in the subject. All the traits together make option 4 correct.

మందాభ్యాసకుల ఉపాధ్యాయుడు వివిధ సాధనాలు సమకూర్చగల వనరులు కలిగి, సమర్థంగా, విషయ నిపుణుడిగా ఉండాలి. అన్నీ కలిసిన 4వ ఎంపిక సరైనది.

Checking or verifying results after solving is the direct strategy for improving accuracy. Time limits and a focus on speed tend to reduce accuracy, and skipping problems is a time-management tactic.

సాధన తరువాత ఫలితాలను సరిచూడడం కచ్చితత్వాన్ని పెంచే నేరుగా ఉపయోగపడే వ్యూహం. కాల పరిమితి, వేగంపై దృష్టి కచ్చితత్వాన్ని తగ్గిస్తాయి.

Oral work keeps every student mentally active and gives the teacher immediate feedback on understanding. It is not meant mainly for rote memorising or handwriting practice.

మౌఖిక పని ప్రతి విద్యార్థిని క్రియాశీలంగా ఉంచి, అవగాహనపై ఉపాధ్యాయునికి తక్షణ పరిపుష్టి ఇస్తుంది. ఇది ప్రధానంగా బట్టీ పట్టడానికి లేదా చేతిరాతకు కాదు.

Drill work provides repeated practice that strengthens understanding and skill in basic mathematical operations. It does not mainly develop creativity, and it should never replace conceptual understanding.

ఆవర్తనం (Drill) పునరావృత సాధనతో ప్రాథమిక గణిత ప్రక్రియలపై అవగాహన, నైపుణ్యాన్ని బలపరుస్తుంది. ఇది భావనల అవగాహనకు ప్రత్యామ్నాయం కాదు.

As per the initial key, 'Ganita Saara Sangraham' (by Mahaviracharya) is the book containing such problems. Leelavati is by Bhaskara II, Aryabhatiya by Aryabhata and Pancha-Siddhantika by Varahamihira.

ప్రాథమిక కీ ప్రకారం ఇటువంటి సమస్యలున్న గ్రంథం మహావీరాచార్యుని 'గణిత సార సంగ్రహం'. లీలావతి భాస్కరాచార్య-II, ఆర్యభటీయం ఆర్యభట్ట, పంచసిద్ధాంతిక వరాహమిహిరుని రచనలు.

Triangular numbers (1, 3, 6, 10, ...) are arranged as dots forming triangles, a repeating arrangement that falls under the aesthetic form of Pattern (the key's choice). Symmetry is about balanced halves.

త్రిభుజ సంఖ్యల (1, 3, 6, 10, ...) అమరిక చుక్కలతో త్రిభుజాలుగా ఏర్పడే పునరావృత రూపం; కీ ప్రకారం ఇది 'నమూనా' (Pattern) కు చెందింది.

As per the initial key, NPE - 1986 is the document that states the need to start Mathematics clubs in schools. The Mudaliar and Kothari Commissions are also sometimes cited for subject clubs, so the question is arguable; follow the key.

ప్రాథమిక కీ ప్రకారం పాఠశాలలో గణిత క్లబ్బుల ఆవశ్యకతను తెలిపినది NPE - 1986. మొదలియార్, కొఠారీ కమిషన్లు కూడా కొన్నిసార్లు ప్రస్తావించబడతాయి; కీని అనుసరించండి.

Validity means measuring what it is meant to measure (ii); reliability is consistency of results (iii); objectivity is freedom from bias, giving impartial results (iv); practicability is ease of administration (i). So A-ii, B-iii, C-iv, D-i.

సప్రమాణత = కొలవాలనుకున్నదాన్నే కొలవడం (ii); విశ్వసనీయత = ఫలితాల స్థిరత్వం (iii); లక్ష్యాత్మకత = పక్షపాతం లేని ఫలితాలు (iv); ఆచరణాత్మకత = సులభంగా నిర్వహించగలగడం (i).

Essay questions let students recall facts and also analyse, argue and evaluate, so they assess both factual knowledge and critical thinking. Fill-in-the-blank and true/false items mainly test recall.

వ్యాసరూప ప్రశ్నలు వాస్తవ జ్ఞానంతో పాటు విశ్లేషణ, మూల్యాంకన ఆలోచనను కూడా పరీక్షిస్తాయి. ఖాళీలు పూరించడం, తప్పు/ఒప్పు ప్రశ్నలు ప్రధానంగా జ్ఞాపకాన్నే పరీక్షిస్తాయి.

The initial key marks option 1: diagnostic evaluation before a new lesson finds learners' prior knowledge and gaps. Some texts also place diagnosis during teaching to find difficulties, so this is slightly arguable; follow the key.

ప్రాథమిక కీ 1వ ఎంపిక: కొత్త పాఠం ముందు లోప నిర్ధారణ మూల్యాంకనం విద్యార్థుల పూర్వజ్ఞానం, లోపాలను తెలుపుతుంది. కొన్ని గ్రంథాలు బోధన సమయంలో కూడా చెబుతాయి కాబట్టి కొంత చర్చనీయాంశం; కీని అనుసరించండి.

The first step in preparing an evaluation tool is to identify the objectives of the evaluation. Question forms, scoring procedure and standardisation come later.

మూల్యాంకన సాధన తయారీలో మొదటి సోపానం మూల్యాంకన లక్ష్యాలను గుర్తించడం. ప్రశ్నల రకాలు, స్కోరింగ్, ప్రామాణీకరణ తరువాతి దశలు.