AP DSC 2025 SA Mathematics Question Paper 12 June 2025 Shift 1

Homi J. Bhabha (1909-1966) is the father of India's nuclear programme. He founded the Tata Institute of Fundamental Research (1945) and the Atomic Energy Commission (1948) and guided India's nuclear physics research.

హోమీ జె. బాబా (1909-1966) భారత అణు కార్యక్రమ పితామహుడు. ఆయన టాటా ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ ఫండమెంటల్ రీసెర్చ్ (1945), అణుశక్తి కమిషన్ (1948) స్థాపించి న్యూక్లియర్ ఫిజిక్స్ (Nuclear Physics) పరిశోధనకు నాయకత్వం వహించారు.

Operation Kaveri (2023) was the evacuation of Indian nationals from conflict-hit Sudan, not a river-pollution project, so statement 4 is incorrect. Operation Dost (2023) was India's relief aid to Turkey and Syria after the earthquake, and Operation Ajay (2023) brought Indians home from Israel.

ఆపరేషన్ కావేరి (2023) అంటే సూడాన్ నుంచి భారతీయులను తరలించిన చర్య; నదీ కాలుష్య నివారణ కాదు. కాబట్టి 4వ వాక్యం సరికానిది. ఆపరేషన్ దోస్త్ టర్కీ-సిరియా భూకంప సహాయం, ఆపరేషన్ అజయ్ ఇజ్రాయిల్ నుంచి తరలింపు.

The Nuclear Non-Proliferation Treaty (NPT) was opened for signature in 1968 and came into force in 1970, so '1978' in option 1 is wrong (the paper also calls it 'Nuclear Protocol Treaty'). CTBT (1996), START-I (1991) and the Limited Test Ban Treaty (1963) are correctly dated.

అణ్వస్త్ర వ్యాప్తి నిరోధక ఒప్పందం (NPT) 1968లో సంతకాలకు తెరిచారు, 1970లో అమల్లోకి వచ్చింది; కాబట్టి 1978 అనేది సరికాదు. CTBT (1996), START-I (1991), పరిమిత పరీక్షా నిషేధ ఒప్పందం (1963) సరైనవే.

The Supreme Court (Minerva Mills case, 1980) described Articles 14 (equality), 19 (freedoms) and 21 (life and personal liberty) as the 'Golden Triangle' of the Constitution, which together protect fundamental rights from arbitrary state action.

మినర్వా మిల్స్ కేసు (1980)లో సుప్రీంకోర్టు 14వ అధికరణ (సమానత్వం), 19వ అధికరణ (స్వాతంత్ర్యాలు), 21వ అధికరణ (జీవించే హక్కు, వ్యక్తిగత స్వేచ్ఛ)లను రాజ్యాంగ 'బంగారు త్రిభుజం' అని పేర్కొంది.

Champaran Satyagraha was in 1917, the Non-Cooperation Movement in 1920, the Civil Disobedience Movement (Dandi March) in 1930 and the Quit India Movement in 1942. This gives i-c, ii-d, iii-a, iv-b.

చంపారన్ సత్యాగ్రహం 1917, సహాయ నిరాకరణోద్యమం 1920, శాసనోల్లంఘన ఉద్యమం (ఉప్పు సత్యాగ్రహం) 1930, క్విట్ ఇండియా ఉద్యమం 1942లో జరిగాయి. కాబట్టి i-c, ii-d, iii-a, iv-b.

Marina Beach in Chennai (about 13 km) is the longest natural urban beach in India and among the longest in the world. Colva, RK Beach and Juhu are much shorter.

చెన్నైలోని మెరీనా బీచ్ (సుమారు 13 కి.మీ.) భారతదేశంలో పొడవైన సహజ నగర బీచ్. కోల్వా, ఆర్కే బీచ్, జుహు బీచ్ లు దీని కన్నా చాలా చిన్నవి.

Vajpayee's speeches are collected in 'Four Decades in Parliament', Morarji Desai wrote 'Nature Cure', Pranab Mukherjee wrote 'The Coalition Years' and P.V. Narasimha Rao's book is 'A Long Way'. So the match is i-c, ii-b, iii-d, iv-a.

వాజ్పేయి ప్రసంగాల సంకలనం 'ఫోర్ డికేడ్స్ ఇన్ పార్లమెంట్', మొరార్జీ దేశాయి 'నేచర్ క్యూర్', ప్రణబ్ ముఖర్జీ 'ది కొయిలేషన్ ఇయర్స్', పి.వి. నరసింహారావు 'ఎ లాంగ్ వే' రచించారు. కాబట్టి i-c, ii-b, iii-d, iv-a.

Dr. C. Narayana Reddy (Cinare) received the Jnanpith Award in 1988 for his poetic work 'Viswambhara'. 'Mahaprasthanam' is by Sri Sri, and 'Adhunikandhra Kavitvam' is Cinare's critical work.

డా. సి. నారాయణ రెడ్డి (సినారె)కు 1988లో 'విశ్వంభర' కావ్యానికి జ్ఞానపీఠ పురస్కారం లభించింది. 'మహాప్రస్థానం' శ్రీశ్రీ రచన; 'ఆధునికాంధ్ర కవిత్వము' సినారె పరిశోధనా గ్రంథం.

Maulana Abul Kalam Azad (1947-1958) was independent India's first Education Minister. He is credited with setting up the UGC, IITs and the Sangeet Natak Akademi; his birthday, 11 November, is observed as National Education Day.

మౌలానా అబుల్ కలాం ఆజాద్ (1947-1958) స్వతంత్ర భారతదేశ మొదటి విద్యాశాఖ మంత్రి. యూజీసీ, ఐఐటీల స్థాపనలో ఆయన పాత్ర ఉంది; ఆయన జన్మదినం నవంబర్ 11ను జాతీయ విద్యా దినోత్సవంగా జరుపుతారు.

Chipko began in Uttarakhand, the Silent Valley protest in Kerala, the Bishnoi movement in Rajasthan and the Narmada Bachao Andolan centred on Gujarat (the Sardar Sarovar dam). Hence i-d, ii-c, iii-b, iv-a.

చిప్కో ఉద్యమం ఉత్తరాఖండ్‌లో, సైలెంట్ వ్యాలీ కేరళలో, బిష్నోయ్ ఉద్యమం రాజస్థాన్‌లో, నర్మదా బచావో ఆందోళన గుజరాత్ (సర్దార్ సరోవర్ ఆనకట్ట) కేంద్రంగా జరిగాయి. కాబట్టి i-d, ii-c, iii-b, iv-a.

Veena - Chittibabu, Mridangam - Ella Venkateswara Rao and Violin - Dwaram Venkataswami Naidu are correct pairs. Bismillah Khan was a shehnai maestro, not a flute player, so (a) is wrong.

వీణ - చిట్టిబాబు, మృదంగం - ఎల్లా వెంకటేశ్వరరావు, వయొలిన్ - ద్వారం వెంకటస్వామి నాయుడు సరైన జతలు. బిస్మిల్లా ఖాన్ షెహనాయి విద్వాంసుడు, వేణువు కాదు; కాబట్టి (a) తప్పు.

Lal Bahadur Shastri coined 'Jai Jawan, Jai Kisan' in 1965, and Atal Bihari Vajpayee added 'Jai Vigyan' after the 1998 Pokhran tests, so the three-part slogan is credited to Vajpayee. Shastri gave only the first two parts, and Kalam and Modi later promoted the slogan.

'జై జవాన్, జై కిసాన్' నినాదాన్ని 1965లో లాల్ బహదూర్ శాస్త్రి ఇచ్చారు; 1998 పోఖ్రాన్ పరీక్షల తర్వాత వాజపేయి 'జై విజ్ఞాన్' చేర్చారు. కాబట్టి మూడు భాగాల నినాదం వాజపేయికి ఆపాదించబడుతుంది; శాస్త్రి మొదటి రెండు భాగాలను మాత్రమే ఇచ్చారు.

'Anora', directed by Sean Baker, won Best Picture at the 97th Academy Awards (March 2025). Sean Baker won Best Director and Mikey Madison Best Actress for the same film; 'The Brutalist' won Best Actor (Adrien Brody).

97వ ఆస్కార్ అవార్డుల్లో (2025) ఉత్తమ చిత్రంగా 'అనోరా' నిలిచింది. అదే చిత్రానికి సీన్ బేకర్ ఉత్తమ దర్శకుడిగా, మైకీ మాడిసన్ ఉత్తమ నటిగా అవార్డులు గెలుచుకున్నారు.

Friedrich von Esmarch is regarded as the father of first aid (he introduced the first-aid bandage). The leprosy bacillus was found by Hansen, the artificial kidney by Willem Kolff, and Harvey is known for blood circulation.

ఫ్రెడరిక్ వాన్ ఎస్మార్క్ ప్రథమ చికిత్స (First Aid) పితామహుడిగా పేరుపొందాడు. కుష్టు బాసిల్లస్‌ను హాన్సెన్, కృత్రిమ మూత్రపిండాన్ని విల్లెం కోల్ఫ్ కనుగొన్నారు; హార్వే రక్త ప్రసరణకు ప్రసిద్ధి.

The chief guest at India's 76th Republic Day (26 January 2025) was Prabowo Subianto, President of Indonesia.

2025 జనవరి 26న జరిగిన 76వ గణతంత్ర దినోత్సవానికి ఇండోనేషియా అధ్యక్షుడు ప్రబోవో సుబియాంటో ముఖ్య అతిథిగా హాజరయ్యారు.

The WEF annual meeting is held at Davos-Klosters, Switzerland; the 2025 meeting took place on 20-24 January with the theme 'Collaboration for the Intelligent Age'.

వరల్డ్ ఎకనామిక్ ఫోరమ్ వార్షిక సమావేశం స్విట్జర్లాండ్‌లోని దావోస్‌లో జరుగుతుంది; 2025 సమావేశం జనవరి 20-24 తేదీల్లో జరిగింది.

Joe Biden (2021-2025) was the 46th US President. Donald Trump was the 45th and, after returning in January 2025, is the 47th; Clinton was the 42nd and Obama the 44th.

జో బైడెన్ (2021-2025) అమెరికా 46వ అధ్యక్షుడు. ట్రంప్ 45వ, తిరిగి ఎన్నికై (2025) 47వ అధ్యక్షుడు; క్లింటన్ 42వ, ఒబామా 44వ అధ్యక్షులు.

Maldives is an island nation in the Indian Ocean and shares only a maritime boundary with India. Pakistan and Nepal have land borders with India (Afghanistan is a neighbour in India's official view via Pakistan-occupied Kashmir).

మాల్దీవులు హిందూ మహాసముద్రంలోని ద్వీప దేశం; భారత్‌తో సముద్ర సరిహద్దు మాత్రమే ఉంది. పాకిస్థాన్, నేపాల్‌లతో భూ సరిహద్దు ఉంది; ఆఫ్గనిస్థాన్ భారత అధికారిక వాదన ప్రకారం (పాక్ ఆక్రమిత కశ్మీర్ ద్వారా) పొరుగు దేశం.

Dr D. Nageswara Reddy (gastroenterologist) received the Padma Vibhushan in 2025, not the Padma Bhushan. Nandamuri Balakrishna, Nalli Kuppuswami Chetti and Sadhvi Ritambhara were Padma Bhushan awardees in 2025.

డా. డి. నాగేశ్వరరెడ్డికి 2025లో పద్మ విభూషణ్ లభించింది, పద్మ భూషణ్ కాదు. నందమూరి బాలకృష్ణ, నల్లి కుప్పుస్వామి చెట్టి, సాధ్వి రితంభర 2025 పద్మ భూషణ్ గ్రహీతలు.

Mana Mitra is the AP government's WhatsApp governance service (launched January 2025), through which citizens can access many government services and certificates on WhatsApp.

'మన మిత్ర' అనేది ఆంధ్రప్రదేశ్ ప్రభుత్వ వాట్సాప్ గవర్నెన్స్ సేవ (2025 జనవరి); దీని ద్వారా పౌరులు అనేక ప్రభుత్వ సేవలు, ధ్రువపత్రాలను వాట్సాప్‌లో పొందవచ్చు.

The Right of Children to Free and Compulsory Education Act, 2009 (Art. 21A) prohibits capitation fee and screening procedures for admission. It does not abolish the three-language formula, mother tongue medium (which it only prefers) or new schools.

విద్యాహక్కు చట్టం 2009 (21A అధికరణ) అడ్మిషన్లలో క్యాపిటేషన్ ఫీజు, స్క్రీనింగ్ విధానాలను నిషేధించింది. త్రిభాషా సూత్రాన్ని, మాతృభాష బోధనను (ప్రాధాన్యం మాత్రమే), కొత్త పాఠశాలల స్థాపనను రద్దు చేయలేదు.

Under Section 7 of the RTI Act, 2005 the Public Information Officer must dispose of a request within 30 days (1 month); if the information concerns a person's life or liberty it must be given within 48 hours.

సమాచార హక్కు చట్టం 2005 సెక్షన్ 7 ప్రకారం పబ్లిక్ ఇన్ఫర్మేషన్ ఆఫీసర్ దరఖాస్తును 30 రోజుల్లో (1 నెల) పరిష్కరించాలి; వ్యక్తి జీవితం లేదా స్వేచ్ఛకు సంబంధించిన సమాచారమైతే 48 గంటల్లో ఇవ్వాలి.

NCF for Foundational Stage 2022 suggests the Concrete-Pictorial-Abstract style 'Concrete Experiences Model' (experience, spoken language, pictures, written symbols) and a 'Four Block Model' for maths (oral math talk, skill teaching, skill practice, math games). Both statements are correct.

NCF-FS 2022 గణితానికి 'మూర్త అనుభవాల నమూనా' (అనుభవం, మౌఖిక భాష, చిత్రాలు, రాత సంకేతాలు), 'నాలుగు గదుల నమూనా' (మౌఖిక గణిత చర్చ, నైపుణ్య బోధన, నైపుణ్య అభ్యాసం, గణిత ఆటలు) సూచించింది. కాబట్టి a, b రెండూ సరైనవి.

Vidyanjali is a school volunteer programme launched in 2021 by the Department of School Education and Literacy, Ministry of Education, to bring volunteers and community support into government schools.

విద్యాంజలి అనేది ప్రభుత్వ పాఠశాలలకు స్వచ్ఛంద సేవకుల, సమాజ సహకారం అందించే కార్యక్రమం; దీనిని విద్యా మంత్రిత్వ శాఖలోని పాఠశాల విద్య, అక్షరాస్యత విభాగం 2021లో ప్రారంభించింది.

Rashtriya Avishkar Abhiyan (2015) targets children aged 6-18, motivates them towards Mathematics, Science and Technology through hands-on experimentation, and is implemented through SSA and RMSA. The initial key marks i, ii, iii; laboratory-based assessment (iv) is not listed as an objective.

రాష్ట్రీయ ఆవిష్కార్ అభియాన్ (2015) 6-18 ఏళ్ల పిల్లల కోసం; ప్రయోగాల ద్వారా గణితం, సైన్స్, టెక్నాలజీపై ఆసక్తి కలిగిస్తుంది; SSA, RMSA ద్వారా అమలవుతుంది. ప్రాథమిక కీ ప్రకారం i, ii, iii సరైనవి; ప్రయోగ ఆధారిత మూల్యాంకనం (iv) లక్ష్యంగా పేర్కొనలేదు.

Article 15 prohibits discrimination by the State on grounds of religion, race, caste, sex or place of birth. Article 17 abolishes untouchability, Article 18 abolishes titles and Article 19 gives the freedoms.

15వ అధికరణం మతం, జాతి, కులం, లింగం, జన్మస్థలం ఆధారంగా వివక్షను నిషేధిస్తుంది. 17వ అధికరణం అంటరానితనం రద్దు, 18వ అధికరణం బిరుదుల రద్దు, 19వ అధికరణం స్వేచ్ఛలకు సంబంధించినవి.

NCF-2005 is built on constructivist ideas: children construct knowledge through experience and social interaction (Vygotsky), and the EVS curriculum is framed that way. Behaviourism is based on stimulus-response, so it does not support NCF-2005.

NCF-2005 నిర్మాణాత్మక వాదంపై ఆధారపడింది: పిల్లలు అనుభవం, సామాజిక సంభాషణ ద్వారా జ్ఞానాన్ని నిర్మించుకుంటారు (వైగోట్స్కీ). పర్యావరణ శాస్త్ర (EVS) పాఠ్యప్రణాళిక ఇదే ఆధారంగా రూపొందింది.

This is the famous aim in Macaulay's Minute on Indian Education (1835): to form a class of persons Indian in blood and colour but English in taste, opinions, morals and intellect. It is the basis of the 'downward filtration' policy.

ఇది మెకాలే 1835 మినిట్‌లోని ప్రసిద్ధ లక్ష్యం: రక్తం, వర్ణంలో భారతీయులు, అభిరుచి, అభిప్రాయాలు, నైతికత, మేధస్సులో ఆంగ్లేయులైన వర్గాన్ని సృష్టించడం. ఇది 'దిగువకు వడపోత' (downward filtration) సిద్ధాంతానికి ఆధారం.

In Buddhist education the 'Pabbajja' (Pabbaja) ceremony marked the start of a student's learning, when the child left home and entered the monastery as a novice. 'Upasampada' was the later higher ordination (at about 20 years), and Upanayana belongs to the Vedic system.

బౌద్ధ విద్యలో విద్యారంభ సమయంలో జరిగే ఉత్సవం 'పబ్బజ్జ' (Pabbaja); బాలుడు ఇల్లు వదిలి శ్రమణుడిగా మఠంలో ప్రవేశిస్తాడు. 'ఉపసంపద' తర్వాత (సుమారు 20 ఏళ్లకు) జరిగే ఉన్నత దీక్ష; ఉపనయనం వైదిక విధానానికి చెందినది.

Following the initial key, (a) UNESCO's 1984 guidelines and (b) NCERT's 1977 code of professional ethics for school teachers are the correct pairs. The other dates attached to the Chattopadhyaya Commission and SIET are not the standard ones, so this question follows the initial key.

ప్రాథమిక కీ ప్రకారం (a) 1984 UNESCO మార్గదర్శకాలు, (b) 1977 NCERT వృత్తి నైతిక నియమావళి సరైన జతలు. ఛటోపాధ్యాయ కమిషన్, SIET లకు ఇచ్చిన సంవత్సరాలు ప్రామాణికం కావు; ఈ ప్రశ్న ప్రాథమిక కీని అనుసరిస్తుంది.

Projective tests (Rorschach inkblot, TAT, word association) present ambiguous, unstructured stimuli; the person projects his inner feelings and motives in the responses. Rating scales, questionnaires and inventories are self-report or observer tools with structured items.

ప్రక్షేపక పరీక్షలు (రోర్షాక్ ఇంక్‌బ్లాట్, TAT, పద సహచర్యం) అస్పష్ట ఉద్దీపనలను ఇచ్చి, వ్యక్తి తన అంతర్గత భావాలను ప్రతిస్పందనల్లో ప్రక్షేపించేలా చేస్తాయి. మాపనులు, ప్రశ్నావళులు, శోధికలు నిర్మాణాత్మక అంశాలతో కూడినవి.

In Erikson's theory the first stage (birth to about 1 year) is Trust vs Mistrust, resolved by consistent care from the caregiver. Autonomy vs Shame comes next (1-3 years), Initiative vs Guilt follows, and Intimacy vs Isolation is a young-adult stage.

ఎరిక్‌సన్ సిద్ధాంతంలో మొదటి దశ (పుట్టుక నుంచి సుమారు 1 సం.) నమ్మకం Vs అనమ్మకం (Trust vs Mistrust). తర్వాత స్వయం ప్రతిపత్తి Vs సిగ్గు (1-3 సం.), చొరవ Vs అపరాధం వస్తాయి; సాన్నిహిత్యం Vs ఏకాంతం యౌవన దశ.

Memory works in three steps: encoding (taking in and coding information), retention (storing it) and retrieval (recalling it when needed). Hence Encoding, Retention, Retrieval.

స్మృతి మూడు దశల్లో జరుగుతుంది: ఎన్‌కోడింగ్ (సమాచారాన్ని సంకేతీకరించడం), ధారణ (నిల్వ), జ్ఞప్తికి తెచ్చుకోవడం (పునఃస్మరణ). కాబట్టి ఎన్‌కోడింగ్, ధారణ, జ్ఞప్తికి తెచ్చుకోవడం.

The same object (the cat) attracts him (wants to play) and repels him (fear of a bite), which is an approach-avoidance conflict. Approach-approach involves two attractive goals and avoidance-avoidance two unpleasant ones.

ఒకే వస్తువు (పిల్లి) ఆకర్షణ (ఆడాలని) మరియు వికర్షణ (కరుస్తుందన్న భయం) రెండూ కలిగిస్తోంది; ఇది ఉపగమ-పరిహార సంఘర్షణ (approach-avoidance). ఉపగమ-ఉపగమలో రెండు ఆకర్షణీయ లక్ష్యాలు, పరిహార-పరిహారలో రెండు అప్రియ లక్ష్యాలు ఉంటాయి.

In classical conditioning, stimulus generalization is responding in the same way to stimuli similar to the original conditioned stimulus. Fear of the first doctor spreads to all doctors, so it is generalization, not discrimination (which is responding only to the original stimulus).

శాస్త్రీయ నిబంధనలో మొదటి నిబంధిత ఉద్దీపనను పోలిన ఇతర ఉద్దీపనలకు అదే ప్రతిస్పందన చూపడం ఉద్దీపనా సామాన్యీకరణ (Stimulus Generalization). ఒక డాక్టర్ భయం అందరు డాక్టర్లకు విస్తరించింది; విచక్షణలో మూల ఉద్దీపనకే స్పందిస్తారు.

Spearman's two-factor theory proposes a General factor ('g') common to all intellectual tasks and Specific factors ('s') unique to particular tasks. So the factor common to all activities is the general factor.

స్పియర్‌మన్ ద్వికారక సిద్ధాంతం ప్రకారం అన్ని మేధో కృత్యాలలో ఉండే సామాన్య కారకం ('g') మరియు ప్రతి కృత్యానికి ప్రత్యేకమైన విశిష్ట కారకాలు ('s') ఉంటాయి. కాబట్టి అన్నింటిలో ఉండేది సామాన్య కారకం.

In Bandura's observational learning the sequence is Attention, Retention, Reproduction (performance) and then Reinforcement/motivation: b, d, a, c.

బండూరా పరిశీలనా అభ్యసనంలో క్రమం: అవధానం (Attention), ధారణ (Retention), నిష్పాదన (Performance/Reproduction), తర్వాత పునర్బలనం (Reinforcement) - అంటే b, d, a, c.

Positive transfer occurs when learning one subject helps learning another. Mathematical skill (numbers, graphs, reasoning) helps in learning Economics, so the transfer is positive. Negative transfer hinders and zero transfer has no effect.

ఒక విషయ అభ్యసనం మరో విషయ అభ్యసనానికి తోడ్పడితే అది ధనాత్మక బదలాయింపు (Positive transfer). గణిత నైపుణ్యాలు (సంఖ్యలు, గ్రాఫ్‌లు, తార్కికత) ఎకనామిక్స్‌కు సహాయపడతాయి. ఋణాత్మకం అడ్డంకి, శూన్యం ప్రభావం లేనిది.

The Binet-Simon scale is individual, power and verbal; Army Alpha is a group verbal speed test and Army Beta a group non-verbal speed test (for illiterates). Draw-a-Person (Goodenough) is individual and non-verbal but is not a speed test, so (d) is wrong, giving a, b, c.

బినే-సైమన్ పరీక్ష వ్యక్తిగత, శక్తి, శాబ్దిక పరీక్ష; ఆర్మీ ఆల్ఫా సామూహిక శాబ్దిక వేగ పరీక్ష; ఆర్మీ బీటా సామూహిక అశాబ్దిక వేగ పరీక్ష. డ్రా-ఎ-పర్సన్ (గుడెనఫ్) వ్యక్తిగత, అశాబ్దిక పరీక్ష అయినా వేగ పరీక్ష కాదు; కాబట్టి (d) తప్పు, సమాధానం a, b, c.

Thorndike's primary laws of learning are Readiness, Exercise and Effect. The Law of Closure belongs to Gestalt psychology (Wertheimer, Koffka, Kohler) and relates to perception.

థార్న్‌డైక్ ప్రధాన అభ్యసన నియమాలు: సంసిద్ధత, అభ్యాసం, ఫలితం. పూరణ నియమం (Law of Closure) గెస్టాల్ట్ మనోవిజ్ఞానానికి (వర్థీమర్, కోఫ్కా, కోహ్లర్) చెందినది.

Speed = 440 ÷ 5.5 = 80 km/h. Time for 30 km = 30/80 h = 3/8 h = 3/8 × 60 = 22.5 min = 22 ½ min.

వేగం = 440 ÷ 5.5 = 80 కి.మీ/గం. 30 కి.మీ కు సమయం = 30/80 గం = 3/8 × 60 = 22.5 నిమిషాలు = 22 ½ నిమిషాలు.

15% of 150 = 22.5 and 42.5% of 200 = 85. So x% of 250 = 85 − 22.5 = 62.5, giving x = 62.5/250 × 100 = 25.

150 లో 15% = 22.5; 200 లో 42.5% = 85. కాబట్టి 250 లో x% = 85 − 22.5 = 62.5, అంటే x = 62.5/250 × 100 = 25.

Half-yearly rate = 5% and number of periods = 3. A = 12000 (1.05)³ = 12000 × 1.157625 = ₹13891.5.

అర్ధ సంవత్సర వడ్డీ రేటు = 5%, కాలాలు = 3. మొత్తం A = 12000 (1.05)³ = 12000 × 1.157625 = ₹13891.5.

Total CP = 18000. SP1 = 8000 × 1.08 = 8640 and SP2 = 10000 × 0.9 = 9000, total SP = 17640. Loss = 360, which is 360/18000 × 100 = 2% loss.

మొత్తం కొన్న ధర = 18000. అమ్మిన ధరలు 8000 × 1.08 = 8640, 10000 × 0.9 = 9000; మొత్తం 17640. నష్టం = 360 = 360/18000 × 100 = 2% నష్టం.

After the first discount the price is 12800 × 0.8 = 10240. Second discount = (10240 − 8704)/10240 = 1536/10240 = 0.15 = 15%.

మొదటి రుసుము తర్వాత ధర = 12800 × 0.8 = 10240. రెండవ రుసుము = (10240 − 8704)/10240 = 1536/10240 = 0.15 = 15%.

A = 4 days, B = 8 days, C = 8 days. Combined rate = 1/4 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2 per day, so the work finishes in 2 days.

A = 4 రోజులు, B = 8 రోజులు, C = 8 రోజులు. ముగ్గురి రోజు పని = 1/4 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2. కాబట్టి పని 2 రోజులలో పూర్తవుతుంది.

(i) 15 km : 5 m = 3000 : 1 and 50 h : 1 min = 3000 : 1, so true. (ii) 2500 ml : 10 ml = 250 : 1 but 500 g : 1 g = 500 : 1, so false. (iii) 1 s : 600 s = 1 : 600 but 0.25 cm : 1500 cm = 1 : 6000, so false. Hence (ii) and (iii) are not true.

(i) 15 కి.మీ : 5 మీ = 3000 : 1, 50 గం : 1 నిమి = 3000 : 1 కాబట్టి సరైనది. (ii) 2500 మి.లీ : 10 మి.లీ = 250 : 1, కానీ 500 గ్రా : 1 గ్రా = 500 : 1 కాబట్టి సరికాదు. (iii) 1 సె : 600 సె = 1 : 600, కానీ 0.25 సెం.మీ : 1500 సెం.మీ = 1 : 6000 కాబట్టి సరికాదు. అందువల్ల (ii), (iii) సరికానివి.

1 billion = 1000 million, so 10 billion = 10000 million = 10^10. (In the Indian system this is 1000 crore.)

1 బిలియన్ = 1000 మిలియన్, కాబట్టి 10 బిలియన్ = 10000 మిలియన్ = 10^10 (భారతీయ పద్ధతిలో 1000 కోట్లు).

HCF(300, 550) = 50 and LCM(12, 18) = 36. So a² − b² = (a+b)(a−b) = 50 × 36 = 1800.

HCF(300, 550) = 50, LCM(12, 18) = 36. కాబట్టి a² − b² = (a+b)(a−b) = 50 × 36 = 1800.

log_a[(x²−10)/x] = log_a 9, so x² − 10 = 9x, i.e. x² − 9x − 10 = 0, giving x = 10 or x = −1. Logarithm of a negative number is undefined (−1 makes x negative), so x = 10.

log_a[(x²−10)/x] = log_a 9, కాబట్టి x² − 10 = 9x, అంటే x² − 9x − 10 = 0, x = 10 లేదా −1. రుణ సంఖ్య యొక్క లాగరిథమ్ నిర్వచించబడదు (x = −1 అయితే log x సాధ్యం కాదు), కాబట్టి x = 10.

A = (−31) ÷ (−31) = 1. B = (−10) ÷ 1 = −10. C = (−3) ÷ 3 = −1. Ascending order: B (−10) < C (−1) < A (1).

A = (−31) ÷ (−31) = 1. B = (−10) ÷ 1 = −10. C = (−3) ÷ 3 = −1. ఆరోహణ క్రమం: B (−10) < C (−1) < A (1).

Unit digits of the cubes of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 are 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3. Their sum is 34, so the unit digit is 4.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ల ఘనాల ఒక్కట్ల స్థానపు అంకెలు 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3. వీటి మొత్తం 34, కాబట్టి ఒక్కట్ల స్థానంలోని అంకె 4.

Numerator = 5^(3n+4) + 5^(3n+1) = 5^(3n)(625 + 5) = 630 · 5^(3n). Denominator = 8·5^(3n) − 5·5^(3n) = 3 · 5^(3n). Ratio = 630/3 = 210.

లవం = 5^(3n+4) + 5^(3n+1) = 5^(3n)(625 + 5) = 630 · 5^(3n). హరం = 8·5^(3n) − 5·5^(3n) = 3 · 5^(3n). కాబట్టి విలువ = 630/3 = 210.

x = 3 + 2√2 = (1 + √2)², so √x = 1 + √2 and 1/√x = 1/(1+√2) = √2 − 1. Difference = (1+√2) − (√2−1) = 2.

x = 3 + 2√2 = (1 + √2)², కాబట్టి √x = 1 + √2 మరియు 1/√x = √2 − 1. భేదం = (1+√2) − (√2−1) = 2.

Odd primes below 20 are 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, i.e. 7 elements (2 is even, so excluded). Number of subsets = 2⁷ = 128.

20 కన్నా తక్కువ బేసి ప్రధాన సంఖ్యలు 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — అంటే 7 మూలకాలు (2 సరిసంఖ్య కాబట్టి లేదు). ఉపసమితుల సంఖ్య = 2⁷ = 128.

By reflection (angle of incidence = angle of reflection) the two right triangles are similar: h/45.6 = 1.5/0.5 = 3. So h = 3 × 45.6 = 136.8 m.

పతన కోణం = పరావర్తన కోణం కాబట్టి రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు సరూపాలు: h/45.6 = 1.5/0.5 = 3. కాబట్టి h = 3 × 45.6 = 136.8 మీ.

Quadrilateral APOQ has right angles at P and Q, so ∠POQ = 180° − 70° = 110°. In triangle OPQ, ∠OPQ + ∠OQP = 180° − 110° = 70°.

చతుర్భుజం APOQ లో P, Q వద్ద లంబకోణాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి ∠POQ = 180° − 70° = 110°. త్రిభుజం OPQ లో ∠OPQ + ∠OQP = 180° − 110° = 70°.

Euclid defined a surface as that which has length and breadth only; thickness belongs to a solid. So option 2 is false. The other three are Euclid's genuine definitions.

యూక్లిడ్ ప్రకారం తలానికి పొడవు, వెడల్పు మాత్రమే ఉంటాయి; మందం ఘనానికి ఉంటుంది. కాబట్టి 2వ ఐచ్ఛికం అసత్యం. మిగిలిన మూడు యూక్లిడ్ యొక్క నిజమైన నిర్వచనాలు.

∠POR and ∠ROQ form a linear pair: 5x + 7x = 180°, so x = 15°. The angles are 75° and 105°; vertically opposite angles are equal, giving 75°, 105°, 75°, 105°.

∠POR, ∠ROQ రేఖీయ ద్వయం: 5x + 7x = 180°, కాబట్టి x = 15°. కోణాలు 75°, 105°; ఎదుటి శీర్షకోణాలు సమానం కాబట్టి 75°, 105°, 75°, 105°.

90° − A = 8A gives A = 10°. Complement = 80° and supplement = 170°; the difference is 90°. (In general, supplement − complement is always 90°.)

90° − A = 8A అయితే A = 10°. పూరక కోణం = 80°, సంపూరక కోణం = 170°; వ్యత్యాసం = 90°. (సాధారణంగా సంపూరకం − పూరకం ఎల్లప్పుడూ 90°.)

AB = AD (rhombus) and AB = BD, so triangle ABD is equilateral and ∠BAD = 60°. Adjacent angles of a rhombus are supplementary, so ∠ADC = 120°. Ratio = 60 : 120 = 1 : 2.

రాంబస్ లో AB = AD, మరియు AB = BD కాబట్టి త్రిభుజం ABD సమబాహు త్రిభుజం; ∠BAD = 60°. రాంబస్ లో ఆసన్న కోణాలు సంపూరకాలు కాబట్టి ∠ADC = 120°. నిష్పత్తి = 60 : 120 = 1 : 2.

A quadrilateral is cyclic if opposite angles are supplementary. This holds for a square, a rectangle and an isosceles trapezium, but a general parallelogram has equal opposite angles, which sum to 180° only when it is a rectangle.

ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలైతే చతుర్భుజం చక్రీయం. చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజాలలో ఇది నిజం. కానీ సాధారణ సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సమానం; అవి 90° అయితేనే (దీర్ఘచతురస్రం) మొత్తం 180°.

Euler's formula for polyhedra: V − E + F = 2. So V = 2 + E − F = 2 + 62 − 40 = 24.

ఆయిలర్ సూత్రం: V − E + F = 2. కాబట్టి V = 2 + E − F = 2 + 62 − 40 = 24.

Volume = 15³ + 12³ + 9³ = 3375 + 1728 + 729 = 5832 = 18³, so the new edge is 18 cm. Diagonal of a cube = edge × √3 = 18√3 cm.

ఘనపరిమాణం = 15³ + 12³ + 9³ = 3375 + 1728 + 729 = 5832 = 18³, కాబట్టి కొత్త భుజం 18 సెం.మీ. ఘనం కర్ణం = భుజం × √3 = 18√3 సెం.మీ.

Same height as a hemisphere means h = r. Cylinder TSA = 2πr(r + r) = 4πr². Cone: slant height = √2 r, TSA = πr(√2 r + r) = (√2+1)πr². Hemisphere TSA = 3πr². Ratio = 4 : √2+1 : 3.

అర్ధగోళం ఎత్తు = r కాబట్టి h = r. స్థూపం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(r + r) = 4πr². శంఖువు: ఏటవాలు ఎత్తు = √2 r, TSA = πr(√2 r + r) = (√2+1)πr². అర్ధగోళం TSA = 3πr². నిష్పత్తి = 4 : √2+1 : 3.

Circumference = 2πr = 2 × 22/7 × 22.4 = 140.8 cm. In 500 revolutions: 140.8 × 500 = 70400 cm = 704 m.

చుట్టుకొలత = 2πr = 2 × 22/7 × 22.4 = 140.8 సెం.మీ. 500 భ్రమణాలలో: 140.8 × 500 = 70400 సెం.మీ = 704 మీ.

V = 4/3 πr³ = 4/3 × 22/7 × 2.1³ = 4/3 × 22/7 × 9.261 = 38.808 cm³.

V = 4/3 πr³ = 4/3 × 22/7 × 2.1³ = 4/3 × 22/7 × 9.261 = 38.808 సెం.మీ³.

The medial triangle DEF has area one-fourth of ΔABC, so ar(ABC) = 25 cm². EF ∥ AB, and ΔCEF = ¼ of ABC = 6.25. Trapezium ABEF = 25 − 6.25 = 18.75 cm².

మధ్య బిందువుల త్రిభుజం DEF వైశాల్యం ΔABC వైశాల్యంలో నాలుగవ వంతు, కాబట్టి ar(ABC) = 25. EF ∥ AB, ΔCEF = 6.25. ట్రాపీజియం ABEF = 25 − 6.25 = 18.75 చ.సెం.మీ.

Volume = 2/3 πr³ and TSA = 3πr². Equating: 2r/3 = 3, so r = 4.5 cm and diameter = 9 cm.

ఘనపరిమాణం = 2/3 πr³, సంపూర్ణ తల వైశాల్యం = 3πr². సమానం చేస్తే 2r/3 = 3, r = 4.5 సెం.మీ, వ్యాసం = 9 సెం.మీ.

The centres form a square of side 2r, so the empty region = 4r² − πr² = (4 − 22/7)r² = 6r²/7 = 42, giving r² = 49 and r = 7 cm. Total circumference = 4 × 2π × 7 = 4 × 44 = 176 cm.

కేంద్రాలు 2r భుజం గల చతురస్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, కాబట్టి ఖాళీ ప్రదేశం = 4r² − πr² = (4 − 22/7)r² = 6r²/7 = 42; r² = 49, r = 7 సెం.మీ. నాలుగు వృత్తాల మొత్తం చుట్టుకొలత = 4 × 2π × 7 = 4 × 44 = 176 సెం.మీ.

Hexagon side = radius, so its perimeter = 6 × 14.49 = 86.94 cm. Circle circumference = 2 × 22/7 × 14.49 = 91.08 cm. Difference = 4.14 cm.

క్రమ షడ్భుజి భుజం = వ్యాసార్థం, కాబట్టి చుట్టుకొలత = 6 × 14.49 = 86.94 సెం.మీ. వృత్తం చుట్టుకొలత = 2 × 22/7 × 14.49 = 91.08 సెం.మీ. తేడా = 4.14 సెం.మీ.

A quadrilateral with two pairs of adjacent equal sides is a kite. A kite has exactly one line of symmetry, the diagonal BD joining the vertices where the equal sides meet.

రెండు జతల ఆసన్న భుజాలు సమానంగా ఉన్న చతుర్భుజం గాలిపటం (kite). గాలిపటానికి సరిగ్గా ఒక సౌష్టవ అక్షం ఉంటుంది — సమాన భుజాలు కలిసే శీర్షాలను కలిపే కర్ణం BD.

5x−15 = 0 gives x = 3 (iv). x²+2x−8 = (x+4)(x−2), so 2 is a zero (iii). For 3x³−x²+x−3, p(1) = 3−1+1−3 = 0 (ii). For 4x³+2x²+3x+5, p(−1) = −4+2−3+5 = 0 (i). So A-iv, B-iii, C-ii, D-i.

5x−15 = 0 అయితే x = 3 (iv). x²+2x−8 = (x+4)(x−2), కాబట్టి 2 శూన్యం (iii). 3x³−x²+x−3 లో p(1) = 3−1+1−3 = 0 (ii). 4x³+2x²+3x+5 లో p(−1) = −4+2−3+5 = 0 (i). కాబట్టి A-iv, B-iii, C-ii, D-i.

Write dividend as −x³+3x²−3x+5 and divisor as −x²+x−1. Quotient x − 2: (x−2)(−x²+x−1) = −x³+3x²−3x+2. Remainder = 5 − 2 = 3. So quotient x−2, remainder 3.

భాజ్యం −x³+3x²−3x+5, భాజకం −x²+x−1. భాగఫలం x − 2: (x−2)(−x²+x−1) = −x³+3x²−3x+2. శేషం = 5 − 2 = 3. కాబట్టి భాగఫలం x−2, శేషం 3.

The middle (3rd) multiple is 840/5 = 168. Consecutive multiples differ by 8, so the smallest = 168 − 2 × 8 = 152.

మధ్య (3వ) గుణిజం = 840/5 = 168. వరుస గుణిజాల భేదం 8 కాబట్టి అతి చిన్నది = 168 − 2 × 8 = 152.

For parallel lines a1/a2 = b1/b2: 3/1.5 = −5/k, so 2 = −5/k and k = −5/2 = −2 ½. (The constants 8 and −11 do not satisfy the same ratio, so the lines are indeed parallel and distinct.)

సమాంతర రేఖలకు a1/a2 = b1/b2: 3/1.5 = −5/k, కాబట్టి 2 = −5/k, k = −5/2 = −2 ½. (స్థిరాంకాల నిష్పత్తి వేరుగా ఉండటంతో రేఖలు నిజంగా సమాంతరాలు, ఏకీభవించవు.)

α+β = 5/3 and αβ = −2/3. α²+β² = 25/9 + 4/3 = 37/9, and (αβ)² = 4/9. So 1/α² + 1/β² = (37/9)/(4/9) = 37/4 = 9 ¼.

α+β = 5/3, αβ = −2/3. α²+β² = 25/9 + 4/3 = 37/9, (αβ)² = 4/9. కాబట్టి 1/α² + 1/β² = (37/9)/(4/9) = 37/4 = 9 ¼.

Cube the given relation: x³ − 1/x³ − 3(x − 1/x) = 343. So x³ − 1/x³ = 343 + 3 × 7 = 364.

ఇచ్చిన సంబంధాన్ని ఘనం చేస్తే x³ − 1/x³ − 3(x − 1/x) = 343. కాబట్టి x³ − 1/x³ = 343 + 3 × 7 = 364.

1/x − 1/(x−2) = −2/(x(x−2)) = 3, so 3x² − 6x + 2 = 0. x = (6 ± √12)/6 = (3 ± √3)/3. So (3−√3)/3 is a root.

1/x − 1/(x−2) = −2/(x(x−2)) = 3, కాబట్టి 3x² − 6x + 2 = 0. x = (6 ± √12)/6 = (3 ± √3)/3. కాబట్టి (3−√3)/3 ఒక మూలం.

This is a GP with a = 1 and r = 1/3, so the nth term = (1/3)^(n−1). 19683 = 3⁹, so n − 1 = 9 and n = 10.

ఇది a = 1, r = 1/3 గల గుణోత్తర శ్రేణి; n వ పదం = (1/3)^(n−1). 19683 = 3⁹ కాబట్టి n − 1 = 9, n = 10.

(n+1)P5 / nP5 = [(n+1)!/(n-4)!] / [n!/(n-5)!] = (n+1)/(n-4). So (n+1)/(n-4) = 3/2, giving 2n+2 = 3n-12 and n = 14.

(n+1)P5 / nP5 = [(n+1)!/(n-4)!] / [n!/(n-5)!] = (n+1)/(n-4). కాబట్టి (n+1)/(n-4) = 3/2 అయితే 2n+2 = 3n-12, అంటే n = 14.

f((a+1)/4) = 4·(a+1)/4 - 1 = a. Then g(a) = a² + 2. So (gof)((a+1)/4) = a² + 2.

f((a+1)/4) = 4·(a+1)/4 - 1 = a. తరువాత g(a) = a² + 2. కాబట్టి (gof)((a+1)/4) = a² + 2.

Element 2 is at (2,2): C22 = (+1)[(-1)(3) - (5)(-4)] = -3 + 20 = 17. Element -5 is at (3,2): C32 = (-1)[(-1)(-2) - (5)(1)] = -(2 - 5) = 3. Sum = 17 + 3 = 20.

మూలకం 2 స్థానం (2,2): C22 = (+1)[(-1)(3) - (5)(-4)] = -3 + 20 = 17. మూలకం -5 స్థానం (3,2): C32 = (-1)[(-1)(-2) - (5)(1)] = -(2 - 5) = 3. మొత్తం = 17 + 3 = 20.

Wrong sum = 8 × 43 = 344. Correct sum = 344 - 12 + (-12) = 320. Correct mean = 320/8 = 40.

తప్పు మొత్తం = 8 × 43 = 344. సరైన మొత్తం = 344 - 12 + (-12) = 320. సరైన సగటు = 320/8 = 40.

The classes are inclusive with a gap of 1 between 15 and 16, so the adjustment is 0.5. The class 11-15 becomes 10.5-15.5 and its upper boundary is 15.5.

తరగతులు సమ్మిళితం; 15 మరియు 16 మధ్య ఖాళీ 1, కాబట్టి సవరణ 0.5. 11-15 తరగతి 10.5-15.5 అవుతుంది; దాని ఎగువ హద్దు 15.5.

Option 4 sorted: 2, 3, 4, 4, 4, 4, 7. Mean = 28/7 = 4, median (4th value) = 4, mode = 4. In the other options the three measures differ (e.g. option 1: mean 17/7, median 2, mode 2).

4వ ఐచ్ఛికం క్రమంలో: 2, 3, 4, 4, 4, 4, 7. సగటు = 28/7 = 4, మధ్యగతం (4వ విలువ) = 4, బాహుళకం = 4. మిగతా ఐచ్ఛికాలలో ఈ మూడు సమానం కావు.

Sector angle = (30/100) × 360° = 108°.

సెక్టారు కోణం = (30/100) × 360° = 108°.

All three are true. In a histogram bar area is proportional to class frequency, it represents a continuous frequency distribution, and a kink (break) is drawn on the x-axis when the scale does not start from zero.

మూడు ప్రవచనాలూ సత్యం. హిస్టోగ్రామ్‌లో దీర్ఘకమ్మీ వైశాల్యం తరగతి పౌనఃపున్యానికి అనుపాతం, ఇది అవిచ్ఛిన్న పౌనఃపున్య విభజనను చూపుతుంది, x-అక్షం సున్నా నుంచి ప్రారంభం కాకపోతే కింక్ (విరామ గుర్తు) వేస్తారు.

Variance = (standard deviation)² = 6.66² = 44.3556.

విస్తృతి (variance) = (ప్రామాణిక విచలనం)² = 6.66² = 44.3556.

For B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 the numbers of A that are multiples are 6, 3, 2, 1, 1, 1 respectively, total 14. Probability = 14/36 = 7/18.

B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 అయినప్పుడు A లో గుణిజాల సంఖ్యలు వరుసగా 6, 3, 2, 1, 1, 1; మొత్తం 14. సంభావ్యత = 14/36 = 7/18.

Area of paper = 30 × 20 = 600 cm². Area of circle = (22/7) × 49 = 154 cm². Outside area = 446 cm². Probability = 446/600 = 223/300.

కాగితం వైశాల్యం = 30 × 20 = 600 చ.సెం.మీ. వృత్త వైశాల్యం = (22/7) × 49 = 154 చ.సెం.మీ. బయటి వైశాల్యం = 446. సంభావ్యత = 446/600 = 223/300.

Odd number cards 3, 5, 7, 9 are removed, leaving 36 cards (A, 2, 4, 6, 8, 10, J, Q, K in each suit). Red face cards 6/36 = 1/6, aces 4/36 = 1/9, jacks 4/36 = 1/9 are true, but black kings are 2/36 = 1/18, not 1/36, so option 3 is false.

3, 5, 7, 9 కార్డులు తొలగించగా ప్రతి సూట్‌లో A, 2, 4, 6, 8, 10, J, Q, K మిగులుతాయి, మొత్తం 36 కార్డులు. ఎరుపు ముఖ కార్డులు 6/36 = 1/6, ఏస్ 4/36 = 1/9, జాకీ 4/36 = 1/9 సత్యం; నలుపు రాజులు 2/36 = 1/18 కాబట్టి 1/36 అనేది అసత్యం.

Mutually exclusive events cannot occur together, so their intersection is the empty set { }. (Its probability is 0, but E1 ∩ E2 itself is the empty set.)

పరస్పర వర్జిత ఘటనలు ఒకేసారి సంభవించవు, కాబట్టి వాటి ఛేదనం ఖాళీ సమితి { }. (దాని సంభావ్యత 0, కానీ E1 ∩ E2 అనేది ఖాళీ సమితి.)

Among 30 consecutive integers there are 15 odd and 15 even. The sum is odd when one is odd and one is even: 15 × 15 = 225 ways out of 30C2 = 435. Probability = 225/435 = 15/29.

30 వరుస పూర్ణ సంఖ్యలలో 15 బేసి, 15 సరి. ఒకటి బేసి, ఒకటి సరి అయితే మొత్తం బేసి: 15 × 15 = 225 మార్గాలు, మొత్తం 30C2 = 435. సంభావ్యత = 225/435 = 15/29.

AB² = (a sinθ + b cosθ)² + (a cosθ - b sinθ)² = a²(sin²θ + cos²θ) + b²(cos²θ + sin²θ) = a² + b². So a² + b² = 5² = 25.

AB² = (a sinθ + b cosθ)² + (a cosθ - b sinθ)² = a² + b². కాబట్టి a² + b² = 5² = 25.

With a < 0, b > 0: (-a, b) = (+, +) in Q1; (a, -b) = (-, -) in Q3; (-a, -a) = (+, +) in Q1. But (-b, b) = (-, +) lies in Q2, not Q3, so option 4 is not true.

a < 0, b > 0 అయితే (-a, b) = (+, +) Q1; (a, -b) = (-, -) Q3; (-a, -a) = (+, +) Q1. కానీ (-b, b) = (-, +) Q2 లో ఉంటుంది, Q3 లో కాదు; కాబట్టి 4వ ప్రవచనం సత్యం కాదు.

Diagonals join (-4, 3) to (8, 3), length 12, and (2, 9) to (2, -3), length 12. Area of rhombus = (1/2) d1 d2 = (1/2)(12)(12) = 72.

కర్ణాలు: (-4, 3)-(8, 3) పొడవు 12; (2, 9)-(2, -3) పొడవు 12. సమచతుర్భుజ వైశాల్యం = (1/2) d1 d2 = (1/2)(12)(12) = 72.

Let the line meet the axes at (a, 0) and (0, b). Dividing in 3:4 from (a,0): x = 4a/7 = 1, so a = 7/4; y = 3b/7 = 3, so b = 7. Product = (7/4)(7) = 49/4.

రేఖ అక్షాలను (a, 0), (0, b) వద్ద ఖండించనీ. (a,0) నుంచి 3:4లో విభజన: x = 4a/7 = 1 కాబట్టి a = 7/4; y = 3b/7 = 3 కాబట్టి b = 7. లబ్ధం = (7/4)(7) = 49/4.

Third side = 96 - 40 - 24 = 32 m, so s = 48. Area = √[48 × 8 × 24 × 16] = 384 sq m (it is a right triangle 24-32-40, area = 1/2 × 24 × 32 = 384).

మూడవ భుజం = 96 - 40 - 24 = 32 మీ, s = 48. వైశాల్యం = √[48 × 8 × 24 × 16] = 384 చ.మీ (24-32-40 లంబకోణ త్రిభుజం, వైశాల్యం = 1/2 × 24 × 32 = 384).

Intercepts: x-intercept a/5 and y-intercept -a/2. Area = (1/2)(a/5)(a/2) = a²/20 = 6, so a² = 120 and a = 2√30.

అంతర ఖండాలు: x-అంతరఖండం a/5, y-అంతరఖండం -a/2. వైశాల్యం = (1/2)(a/5)(a/2) = a²/20 = 6, కాబట్టి a² = 120, a = 2√30.

Complete squares: 9(x² - 4x) + 16(y² + 2y) = 92 gives 9(x-2)² + 16(y+1)² = 92 + 36 + 16 = 144. The centre is (2, -1).

వర్గాలను పూరిస్తే 9(x-2)² + 16(y+1)² = 92 + 36 + 16 = 144. కేంద్రం (2, -1).

Centre = (-g, -f) = (1, 4). Radius = √(g² + f² - c) = √(1 + 16 + 8) = √25 = 5.

కేంద్రం = (-g, -f) = (1, 4). వ్యాసార్ధం = √(g² + f² - c) = √(1 + 16 + 8) = 5.

Slopes are m1 = -2 and m2 = 3. tanθ = |(m1 - m2)/(1 + m1m2)| = |(-5)/(1 - 6)| = 1, so θ = π/4.

వాలులు m1 = -2, m2 = 3. tanθ = |(m1 - m2)/(1 + m1m2)| = |-5/(1 - 6)| = 1, కాబట్టి θ = π/4.

cosθ/(1 - sinθ) = (1 + sinθ)/cosθ (multiply by (1 + sinθ)). Subtract sinθ/cosθ to get 1/cosθ = secθ.

cosθ/(1 - sinθ) = (1 + sinθ)/cosθ ((1 + sinθ) తో గుణించగా). దీని నుండి sinθ/cosθ తీసివేస్తే 1/cosθ = secθ.

cot⁴θ - cosec⁴θ = (cot²θ - cosec²θ)(cot²θ + cosec²θ) = -(cot²θ + cosec²θ), since cosec²θ - cot²θ = 1. Adding cot²θ + cosec²θ gives 0.

cot⁴θ - cosec⁴θ = (cot²θ - cosec²θ)(cot²θ + cosec²θ) = -(cot²θ + cosec²θ) (ఎందుకంటే cosec²θ - cot²θ = 1). దీనికి cot²θ + cosec²θ కలిపితే 0.

The two radii and the chord form an isosceles triangle with apex angle 60°, so it is equilateral. Chord = radius = 2√3 cm.

రెండు వ్యాసార్ధాలు, జ్యా కలిసి శీర్షకోణం 60° గల సమద్విబాహు త్రిభుజం ఏర్పరుస్తాయి, అది సమబాహు త్రిభుజం. జ్యా = వ్యాసార్ధం = 2√3 సెం.మీ.

(tan A + tan B)/(cot A + cot B) = tan A tan B, so tan A tan B = 1. This gives tan A = cot B, so A + B = 90°. Hence sin((A+B)/2) = sin 45° = 1/√2.

(tan A + tan B)/(cot A + cot B) = tan A tan B కాబట్టి tan A tan B = 1. అప్పుడు tan A = cot B, అంటే A + B = 90°. కాబట్టి sin((A+B)/2) = sin 45° = 1/√2.

BC = 15 and CA = 8, so AB = √(225 + 64) = 17. sinA = BC/AB = 15/17 and cosB = BC/AB = 15/17. Sum = 30/17.

BC = 15, CA = 8, కాబట్టి AB = √(225 + 64) = 17. sinA = BC/AB = 15/17, cosB = BC/AB = 15/17. మొత్తం = 30/17.

cos(90° - y) = sin y, so sin y = 1/sec55° = cos55° = sin35°. Hence y = 35°.

cos(90° - y) = sin y, కాబట్టి sin y = 1/sec55° = cos55° = sin35°. అందువల్ల y = 35°.

tan(elevation) = height/shadow = √3/1 = √3, so the angle of elevation is 60° = π/3.

tan(ఉన్నతి కోణం) = ఎత్తు/నీడ = √3/1 = √3, కాబట్టి ఉన్నతి కోణం 60° = π/3.

The series is an infinite geometric progression with sum 1/(1 - cos x) = 2, so cos x = 1/2. In (-π, π) with x ≠ 0 this gives x = ±π/3.

ఇది అనంత గుణశ్రేణి, మొత్తం 1/(1 - cos x) = 2, కాబట్టి cos x = 1/2. (-π, π) లో x ≠ 0 అయితే x = ±π/3.

Using r = Δ/s, r1 = Δ/(s-a), r2 = Δ/(s-b), r3 = Δ/(s-c): r·r2 = r1·r3 gives s(s-b) = (s-a)(s-c). Then tan²(B/2) = (s-a)(s-c)/[s(s-b)] = 1, so B/2 = 45° and B = 90°.

r = Δ/s, r1 = Δ/(s-a), r2 = Δ/(s-b), r3 = Δ/(s-c) వాడగా r·r2 = r1·r3 నుండి s(s-b) = (s-a)(s-c). అప్పుడు tan²(B/2) = (s-a)(s-c)/[s(s-b)] = 1, కాబట్టి B/2 = 45°, B = 90°.

(5cosθ + 3sinθ)² + (5sinθ - 3cosθ)² = 25 + 9 = 34. So (5sinθ - 3cosθ)² = 34 - 16 = 18, giving 5sinθ - 3cosθ = ±3√2.

(5cosθ + 3sinθ)² + (5sinθ - 3cosθ)² = 25 + 9 = 34. కాబట్టి (5sinθ - 3cosθ)² = 34 - 16 = 18, అంటే 5sinθ - 3cosθ = ±3√2.

a × b = i[(-1)(-1) - (1)(4)] - j[(2)(-1) - (1)(3)] + k[(2)(4) - (-1)(3)] = -3i + 5j + 11k.

a × b = i[(-1)(-1) - (1)(4)] - j[(2)(-1) - (1)(3)] + k[(2)(4) - (-1)(3)] = -3i + 5j + 11k.

Dot product = λ(2λ) + (-3)(-λ) + (5)(-1) = 2λ² + 3λ - 5 = 0. Factorising (2λ + 5)(λ - 1) = 0, so λ = -5/2 or 1.

అంతర్గుణకం = λ(2λ) + (-3)(-λ) + (5)(-1) = 2λ² + 3λ - 5 = 0. (2λ + 5)(λ - 1) = 0, కాబట్టి λ = -5/2 లేదా 1.

|a| = √(1 + 4) = √5. Required vector = 7 × a/|a| = (7/√5)(i - 2j) = (7/√5)i - (14/√5)j.

|a| = √(1 + 4) = √5. కావలసిన సదిశ = 7 × a/|a| = (7/√5)(i - 2j) = (7/√5)i - (14/√5)j.

d/dx (x⁴) = 4x³ and d/dx (tan x) = sec²x, so y' = 4x³ + sec²x.

d/dx (x⁴) = 4x³, d/dx (tan x) = sec²x, కాబట్టి y' = 4x³ + sec²x.

Factorise: x²(x - 3)/[(x - 2)(x - 3)] = x²/(x - 2) for x ≠ 3. At x = 3 this equals 9/1 = 9.

కారణాంకాలుగా విడదీస్తే x²(x - 3)/[(x - 2)(x - 3)] = x²/(x - 2) (x ≠ 3). x = 3 వద్ద 9/1 = 9.

cot²x = cosec²x - 1, so ∫cot²x dx = ∫cosec²x dx - ∫1 dx = -cot x - x + c.

cot²x = cosec²x - 1, కాబట్టి ∫cot²x dx = ∫cosec²x dx - ∫1 dx = -cot x - x + c.

Using lim (e^(kx) - 1)/x = k as x → 0 (standard limit), with k = 7 the value is 7.

ప్రామాణిక అవధి lim (e^(kx) - 1)/x = k (x → 0) ప్రకారం k = 7 అయితే విలువ 7.

Frank Swetz is credited with the view that the history of mathematics gives the subject its human roots, showing that it grew out of human needs and efforts. This is why history is used in teaching to make mathematics meaningful. The other names are distractors.

గణితశాస్త్ర చరిత్ర ఈ శాస్త్రానికి మానవ మూలాలను అందిస్తుందని ఫ్రాంక్ స్వెట్జ్ (Swetz) అభిప్రాయపడ్డారు. గణితం మానవ అవసరాల నుంచి పుట్టిందని ఇది చూపుతుంది. అందుకే బోధనలో గణిత చరిత్రను ఉపయోగిస్తారు. మిగతా పేర్లు పరధ్యానాలు.

Benjamin Peirce defined mathematics as the science that draws necessary conclusions. This stresses the logical, deductive nature of the subject. Euclid is known for geometry and axiomatic method, not this definition.

గణితం అనివార్య నిర్ధారణలను రాబట్టే శాస్త్రమని బెంజమిన్ పీర్స్ నిర్వచించారు. ఇది గణితంలోని తార్కిక, నిగమన స్వభావాన్ని సూచిస్తుంది. యూక్లిడ్ జ్యామితికి ప్రసిద్ధుడు, ఈ నిర్వచనానికి కాదు.

The initial key marks option 4 (d, a, b: discipline, simplicity, logic). Mathematics is logical, systematic and disciplined, and its ideas are simple and precise, whereas it is abstract rather than concrete, so c is the odd one out. The combination follows the official key.

అధికారిక కీ ప్రకారం సమాధానం 4 (d, a, b: క్రమశిక్షణ, సరళత, తర్కం). గణితం తార్కికమైనది, క్రమబద్ధమైనది, సరళమైనది; ఇది అమూర్తమైనది కాబట్టి c (మూర్తత్వం) సరికాదు. ఈ సమాధానం అధికారిక కీని అనుసరిస్తుంది.

In the Aryabhatiya, Aryabhata gave the value of pi as 62832/20000 = 3.1416, correct to four decimal places. He also called it an approximate value. The other options are scrambled digits.

ఆర్యభటీయంలో ఆర్యభట్ట π విలువను 62832/20000 = 3.1416 (నాలుగు దశాంశ స్థానాల వరకు ఖచ్చితం)గా ఇచ్చారు; దీనిని ఆసన్న విలువగా పేర్కొన్నారు. మిగతా ఐచ్ఛికాలు అంకెలను తారుమారు చేసినవి.

This is Goldbach's conjecture, proposed by Christian Goldbach in a 1742 letter to Euler. It remains unproved but is verified for very large numbers. Pythagoras and Euclid are not associated with it.

ఇది గోల్డ్‌బాక్ ఊహ (Goldbach's conjecture). క్రిస్టియన్ గోల్డ్‌బాక్ 1742లో యూలర్‌కు రాసిన లేఖలో దీనిని ప్రతిపాదించాడు. ఇది ఇప్పటికీ నిరూపితం కాలేదు, కానీ చాలా పెద్ద సంఖ్యల వరకు సరిచూశారు.

India's first satellite, Aryabhata, was launched on 19 April 1975 from the Soviet Union (Kapustin Yar) by a Soviet Cosmos-3M rocket. It was built by ISRO and named after the ancient mathematician-astronomer.

భారతదేశ తొలి ఉపగ్రహం ఆర్యభట్ట 1975 ఏప్రిల్ 19న సోవియట్ యూనియన్ నుంచి ప్రయోగించబడింది. దీనిని ఇస్రో (ISRO) నిర్మించింది, ప్రాచీన గణిత-ఖగోళ శాస్త్రవేత్త పేరు పెట్టారు.

Among all closed plane figures with the same perimeter, the circle encloses the greatest area (the isoperimetric property), which the Greeks attributed to Pythagoras. Triangle, rectangle and square enclose less area for the same perimeter.

ఒకే చుట్టుకొలత ఉన్న అన్ని సంవృత పటాలలో వృత్తానికి గరిష్ఠ వైశాల్యం ఉంటుంది (ఐసోపెరిమెట్రిక్ ధర్మం); దీనిని గ్రీకులు పైథాగరస్‌కు ఆపాదించారు. త్రిభుజం, దీర్ఘచతురస్రం, చతురస్రాలకు అదే చుట్టుకొలతకు తక్కువ వైశాల్యం ఉంటుంది.

All four statements are true: the Greeks introduced reasoning and proof into mathematics, Arithmetika dealt with the theory of numbers, Logistika with practical calculation, and the Pythagoreans studied figurate numbers such as triangular numbers. Hence a, b, c, d.

నాలుగు ప్రవచనాలూ సరైనవే: గ్రీకులు గణితంలోకి తర్కం, నిరూపణను తెచ్చారు; అరిథ్‌మెటికా సంఖ్యా సిద్ధాంతం, లాజిస్టికా వ్యావహారిక గణన; పైథాగరియన్లు త్రిభుజాకార సంఖ్యల వంటి ఆకార సంఖ్యలను అధ్యయనం చేశారు. కాబట్టి a, b, c, d.

Aims are broad, long-term, general statements of purpose that give direction to the whole educational process. Goals, objectives and specifications are progressively narrower and more specific, so they guide classroom teaching rather than education as a whole.

ఉద్దేశ్యాలు (Aims) విస్తృతమైన, దీర్ఘకాలిక సాధారణ ప్రకటనలు; అవి మొత్తం విద్యా ప్రక్రియకు దిశానిర్దేశం చేస్తాయి. గమ్యాలు, లక్ష్యాలు, స్పష్టీకరణలు క్రమంగా మరింత నిర్దిష్టమైనవి, ఇవి తరగతి బోధనకు మార్గదర్శకాలు.

The initial key marks Manipulation. In the common ordering (Imitation, Manipulation, Precision, Articulation, Naturalization) the fourth from the bottom would be Articulation, so this question is arguable and the answer follows the initial key.

అధికారిక కీ ప్రకారం హస్తలాఘవం (Manipulation). సాధారణ క్రమం (అనుకరణ, హస్తలాఘవం, ఖచ్చితత్వం, ఉచ్ఛారణ/Articulation, సహజీకరణ)లో కింది నుంచి 4వది ఉచ్ఛారణ అవుతుంది, కాబట్టి ఈ ప్రశ్న వివాదాస్పదమే; సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

The initial key marks a, c, e, d, b, f, which is Bloom's hierarchy in ascending order: Knowledge, Understanding, Application, Analysis, Synthesis, Evaluation. The question says "from top", which would be the reverse order, so it is arguable; the answer follows the initial key.

అధికారిక కీ a, c, e, d, b, f; ఇది బ్లూమ్ క్రమాన్ని కింది నుంచి పైకి చూపుతుంది: జ్ఞానం, అవగాహన, వినియోగం, విశ్లేషణ, సంశ్లేషణ, మూల్యాంకనం. ప్రశ్న 'పై నుంచి' అంటోంది, అది రివర్స్ క్రమం అవుతుంది కాబట్టి ఇది వివాదాస్పదం; సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

Disciplinary value of mathematics develops habits of regularity, punctuality, perseverance, courage and self-confidence through systematic work and problem solving. Aesthetic and cultural values relate to appreciation and heritage, moral value to ethics.

గణితం యొక్క క్రమశిక్షణా విలువ (Disciplinary value) క్రమబద్ధమైన పని, సమస్యా సాధన ద్వారా సమయపాలన, పట్టుదల, ధైర్యం, ఆత్మవిశ్వాసం వంటి అలవాట్లను పెంచుతుంది. కళాత్మక, సాంస్కృతిక విలువలు అభినందన, వారసత్వానికి; నైతిక విలువ నీతికి సంబంధించినవి.

A good textbook is judged by its content, organisation, language, illustrations and exercises. Price is an administrative or economic matter and is not a qualitative characteristic of the book itself.

మంచి పాఠ్యపుస్తకాన్ని దాని విషయం, నిర్వహణ, భాష, చిత్రాలు, అభ్యాసాల ఆధారంగా అంచనా వేస్తారు. వెల (price) అనేది ఆర్థిక/పరిపాలనా అంశం, పుస్తకం యొక్క గుణాత్మక లక్షణం కాదు.

In the topical approach a topic is taken up and completely covered at one stretch, in one class, and is not revisited. In the spiral or concentric approaches the same topic is returned to at increasing depth in later classes.

శీర్షిక (Topical) పద్ధతిలో ఒక అంశాన్ని ఒకే సారి, ఒకే తరగతిలో పూర్తిగా బోధిస్తారు; మళ్ళీ తిరిగి చేపట్టరు. సర్పిల (spiral), ఏకకేంద్ర (concentric) పద్ధతులలో అదే అంశాన్ని తరువాతి తరగతులలో ఎక్కువ లోతుతో మళ్ళీ చేపడతారు.

The initial key marks Difficulty. Correlation, activity-based learning and flexibility are standard principles of curriculum organisation, whereas difficulty is not usually listed as one, so it is the odd one out as per the key. The question is somewhat arguable.

అధికారిక కీ ప్రకారం కఠినత (Difficulty). సహసంబంధం, కృత్యాధారం, మార్పునకు వీలు (flexibility) కరికులం నిర్వహణ సూత్రాలుగా సాధారణంగా చెబుతారు; కఠినతను సూత్రంగా చెప్పరు కాబట్టి అది భిన్నమైనది. ప్రశ్న కొంత వివాదాస్పదం.

In the spiral approach concepts are arranged so that they continue and are revisited at higher levels of depth in successive classes, each stage building on the earlier. The concentric approach repeats at the same level with widening scope, and the topical approach finishes a topic at once.

సర్పిల (spiral) పద్ధతిలో భావనలు ఒకదానిపై ఒకటి నిర్మితమవుతూ, తరువాతి తరగతులలో ఎక్కువ లోతుతో పునఃసమీక్షింపబడుతూ కొనసాగుతాయి. ఏకకేంద్ర పద్ధతి అదే స్థాయిలో పరిధిని పెంచుతుంది; శీర్షిక పద్ధతి అంశాన్ని ఒకేసారి ముగిస్తుంది.

The inductive method proceeds from particular examples to a general rule. It is logical, psychological and based on observation, but it is slow and lengthy rather than brief, so "Brief" is not its characteristic.

ఆగమన పద్ధతి (Inductive method) ప్రత్యేక ఉదాహరణల నుంచి సాధారణ సూత్రం వైపు వెళ్తుంది. ఇది తార్కికమైనది, మనోవిజ్ఞానికమైనది, పరిశీలనపై ఆధారపడినది; కానీ నెమ్మదిగా, దీర్ఘంగా ఉంటుంది కాబట్టి 'సంక్షిప్తమైనది' దాని లక్షణం కాదు.

Laws of indices are best taught inductively: students try numerical cases such as 2^5/2^3 = 2^2, observe the pattern and then generalise to a^m/a^n = a^(m-n). Deductive teaching would start with the formula itself.

ఘాతాంక నియమాలను ఆగమన పద్ధతిలో బోధించడం ఉత్తమం: 2^5/2^3 = 2^2 వంటి సంఖ్యా ఉదాహరణలను చేసి, నమూనాను గమనించి a^m/a^n = a^(m-n) అని సాధారణీకరిస్తారు. నిగమన పద్ధతిలో సూత్రాన్ని ముందే చెబుతారు.

The heuristic method (from Greek heurisko, I find), advocated by H.E. Armstrong, makes the learner discover facts by himself, giving the feeling of "I found". Project method is about doing a real-life task.

అన్వేషణ (Heuristic) పద్ధతి (గ్రీకు 'heurisko' = నేను కనుగొన్నాను)ని హెచ్.ఇ. ఆర్మ్‌స్ట్రాంగ్ ప్రతిపాదించారు. ఇందులో విద్యార్థి స్వయంగా విషయాలను కనుగొని 'నేను కనుగొన్నాను' అనే భావన పొందుతాడు.

In the analytic method we start from the unknown (what is to be found) and work back to the known data, so the student sees how the solution procedure is found. The synthetic method goes from known to unknown and only shows the steps.

విశ్లేషణ (Analytic) పద్ధతిలో కనుగొనవలసిన (తెలియని) అంశం నుంచి మొదలుపెట్టి, తెలిసిన దత్తాంశం వైపు వెనుకకు వెళ్తారు; అందువల్ల సాధన విధానం ఎలా కనుగొనబడుతుందో విద్యార్థికి తెలుస్తుంది. సంశ్లేషణ పద్ధతి తెలిసిన దాని నుంచి తెలియని దానికి వెళ్ళి, దశలను మాత్రమే చూపుతుంది.

The year plan is prepared at the start of the academic year and distributes the whole syllabus over months and terms. Unit plans cover one unit, and lesson or period plans cover a single class.

వార్షిక పథకం (Year plan) విద్యా సంవత్సరం ప్రారంభంలో తయారుచేసి, మొత్తం పాఠ్యప్రణాళికను నెలలు, సెమిస్టర్ల వారీగా పంపిణీ చేస్తారు. యూనిట్ పథకం ఒక యూనిట్‌కు, పాఠ్య/పీరియడ్ పథకాలు ఒక తరగతికి సంబంధించినవి.

In Herbart's steps (preparation, presentation, association/comparison, generalization, application) the learner derives rules, definitions and formulae in the generalization step after observing examples and comparisons.

హెర్బార్ట్ సోపానాలలో (సంసిద్ధత, సమర్పణ, సంసర్గం/పోలిక, సాధారణీకరణం, అనువర్తనం) ఉదాహరణలు, పోలికలను పరిశీలించిన తర్వాత విద్యార్థి నియమాలు, నిర్వచనాలు, సూత్రాలను సాధారణీకరణ (Generalization) సోపానంలో రాబడతాడు.

The initial key marks b, d. Under the aptitude objective the learner suggests simple solutions to problems and makes mathematical puzzles; models and new methods are usually linked to other objectives such as application or creativity. This follows the key.

అధికారిక కీ b, d. అభిరుచి (aptitude) లక్ష్యంలో విద్యార్థి సమస్యలకు సులభ పరిష్కారాలు సూచిస్తాడు, గణిత పజిల్స్ తయారుచేస్తాడు; నమూనాలు, కొత్త పద్ధతులు సాధారణంగా అనువర్తనం/సృజనాత్మకత వంటి లక్ష్యాలకు చెందుతాయి. ఇది కీని అనుసరిస్తుంది.

Culminating (concluding) activities at the end of the lesson include recapitulation, application and assignments. Presentation is a developmental step in the middle of the lesson, not a culminating activity.

పాఠం చివర చేసే పర్యవసాన (culminating) కృత్యాలలో పునర్విమర్శ, అన్వయం, నియోజనాలు (assignments) ఉంటాయి. సమర్పణ (presentation) పాఠం మధ్యలోని అభివృద్ధి దశ, పర్యవసాన కృత్యం కాదు.

Flash cards carry a fact, symbol or formula on one side and are shown quickly, which helps in memorising and recognising concepts. Geo board, grid paper and peg board are used for geometric and area concepts.

ఫ్లాష్ కార్డులపై ఒక వాస్తవం, గుర్తు లేదా సూత్రం ఉంటుంది; వాటిని త్వరగా చూపడం వల్ల భావనలను గుర్తుంచుకోవడం, గుర్తించడం సులభమవుతుంది. జియోబోర్డు, గ్రిడ్ పేపర్, పెగ్ బోర్డు జ్యామితి, వైశాల్య భావనలకు ఉపయోగిస్తారు.

In Dale's cone of experience, direct purposeful experiences are at the base (most concrete) and verbal symbols are at the apex, the most abstract level. Visual symbols are just below verbal symbols.

డేల్ అనుభవ శంకువులో ప్రత్యక్ష, ప్రయోజనాత్మక అనుభవాలు అడుగున (అత్యంత మూర్తం), శాబ్దిక సంకేతాలు (verbal symbols) శిఖరాన (అత్యంత అమూర్తం) ఉంటాయి. దృశ్య సంకేతాలు వాటికి కొంచెం కింద ఉంటాయి.

Drill work fixes concepts and relations in the mind, builds habits of regular work, and stabilises learned material through repetition. All three statements are uses, so a, b, c.

ఆవర్తన పని (drill) భావనలు, సంబంధాలను మనసులో స్థిరపరుస్తుంది, క్రమబద్ధంగా పనిచేసే అలవాటును పెంచుతుంది, పునరావృతం ద్వారా నేర్చుకున్న విషయాన్ని దృఢపరుస్తుంది. మూడూ ఉపయోగాలే, కాబట్టి a, b, c.

For gifted students schools can form homogeneous ability groups, encourage them to take part in talent search tests and olympiads, and use them as teaching assistants to peers. So all of a, b, c apply.

ప్రతిభావంతులైన విద్యార్థులకు పాఠశాలలు సమ సామర్థ్య సమూహాలను ఏర్పరచవచ్చు, ప్రతిభాన్వేషణ పరీక్షలు, ఒలింపియాడ్లలో పాల్గొనేలా ప్రోత్సహించవచ్చు, తోటి విద్యార్థులకు బోధన సహాయకులుగా ఉపయోగించవచ్చు. కాబట్టి a, b, c అన్నీ వర్తిస్తాయి.

Slow learners have below-average intelligence, in the range of roughly 70-90 (the options give 60-90), and are not mentally retarded. Above 140 is genius, 120-140 is superior to very superior, and 50-70 is mild mental retardation. The answer follows the key.

మంద అభ్యాసకులు సగటు కంటే తక్కువ తెలివితేటలు కలవారు, సుమారు 70-90 పరిధిలో (ఇక్కడ ఐచ్ఛికాలలో 60-90) ఉంటారు; వీరు మానసిక వైకల్యం ఉన్నవారు కారు. 140 పైన మేధావులు, 120-140 ఉన్నత ప్రజ్ఞ, 50-70 స్వల్ప మానసిక వైకల్యం. సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

The initial key marks option 2 (c, a, b). Oral work should suit the learners' level and be accompanied by written work; using it to save time is acceptable in this key, while difficult language (d) is clearly wrong. Option 2 follows the official key.

అధికారిక కీ 2 (c, a, b). మౌఖిక పనిని విద్యార్థుల స్థాయికి తగినట్లుగా చేయాలి, దానితో పాటు వ్రాత పని కూడా ఉండాలి; సమయం ఆదా చేయడానికి ఉపయోగించడం ఈ కీలో అంగీకరించబడింది; కఠినమైన భాష (d) స్పష్టంగా తప్పు. సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

Skill in computation, gained by practice, lets a student calculate both quickly and correctly, balancing speed and accuracy. Diversity, cooperation and capacity do not directly bring about this balance.

అభ్యాసం ద్వారా సాధించిన గణన నైపుణ్యం (skill) వల్ల విద్యార్థి వేగంగా, ఖచ్చితంగా లెక్కలు చేయగలడు; ఇది వేగం, ఖచ్చితత్వం మధ్య సమతుల్యత తెస్తుంది. వైవిధ్యం, సహకారం, సామర్థ్యం నేరుగా దీనిని కలిగించవు.

Assignments are tasks given to be done on one's own outside the class, so they develop self-study, independence and responsibility. Drill is for repeated practice and oral/written work are class activities.

నియోజనాలు (assignments) తరగతి వెలుపల స్వయంగా చేయవలసిన పనులు, కాబట్టి అవి స్వీయ అధ్యయనం, స్వతంత్రత, బాధ్యతను పెంచుతాయి. ఆవర్తన పని పునరావృత అభ్యాసానికి; మౌఖిక, వ్రాత పనులు తరగతి కృత్యాలు.

Drill should not overburden pupils, accuracy should come first and speed afterwards, and the exercises should be varied. Drill is given only on topics already taught, so b is wrong. Hence a, c, d.

ఆవర్తన పనిలో విద్యార్థులపై అధిక భారం ఉండకూడదు, ముందు ఖచ్చితత్వం తర్వాత వేగం సాధించాలి, అభ్యాసాలు ఒకేలా ఉండకూడదు. ఇప్పటికే బోధించిన అంశాలపైనే డ్రిల్ ఇస్తారు కాబట్టి b తప్పు. కాబట్టి a, c, d.

The initial key marks Order. Palindromic numbers (121, 1331) read the same both ways, which many texts relate to symmetry, so the question is arguable; the answer follows the initial key.

అధికారిక కీ ప్రకారం క్రమం (Order). పాలిండ్రోమిక్ సంఖ్యలు (121, 1331) రెండు వైపుల నుంచి ఒకేలా చదవబడతాయి; చాలా గ్రంథాలు దీనిని సౌష్ఠవం (symmetry)తో ముడిపెడతాయి కాబట్టి ప్రశ్న వివాదాస్పదం; సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

The initial key marks option 4. The Telugu version prints 8, 27, 64, 128, which breaks the cube order, but the English version prints 125, which would be a perfect cube sequence; so this question is arguable because of the discrepancy. The answer follows the initial key.

అధికారిక కీ ఐచ్ఛికం 4. తెలుగు పాఠంలో 8, 27, 64, 128 అని ముద్రించబడింది (ఘన క్రమం భంగమవుతుంది), కానీ ఇంగ్లీష్ పాఠంలో 125 ఉంది, అది ఘన సంఖ్యల క్రమమే; అందువల్ల ఈ రెండింటి తేడా వల్ల ప్రశ్న వివాదాస్పదం. సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

As per the initial key the head of the institution (headmaster) is the president of the school mathematics club, the mathematics teacher acting as the guide or secretary. Some texts mention the mathematics teacher, so this is slightly arguable.

అధికారిక కీ ప్రకారం పాఠశాల గణిత సంఘానికి ప్రధానోపాధ్యాయుడు (Head of the institution) అధ్యక్షుడు; గణిత ఉపాధ్యాయుడు మార్గదర్శి లేదా కార్యదర్శిగా ఉంటారు. కొన్ని గ్రంథాలు గణిత ఉపాధ్యాయుడని పేర్కొంటాయి, కాబట్టి కొంత వివాదాస్పదం.

Diagnostic evaluation identifies learning difficulties and weaknesses of the student so that remedial teaching can be planned. Summative evaluation grades at the end, formative monitors progress, and prognostic predicts future performance.

లోపనిదాన (Diagnostic) మూల్యాంకనం విద్యార్థుల అభ్యసన కష్టాలు, బలహీనతలను గుర్తించి, ఉపచారాత్మక బోధనకు ప్రణాళిక వేయడానికి తోడ్పడుతుంది. సంకలన మూల్యాంకనం చివర గ్రేడ్ ఇస్తుంది, రూపణ పురోగతిని పర్యవేక్షిస్తుంది, ప్రాగుక్తిక భవిష్యత్ ప్రదర్శనను అంచనా వేస్తుంది.

Completion (fill in the blank) items require recalling a word or number, so they test the memory (recall) level. Expression and drawing are tested by essay and diagram questions. The answer follows the key.

పూరక (fill in the blank) ప్రశ్నలలో ఒక పదం లేదా సంఖ్యను గుర్తుకు తెచ్చుకొని రాయాలి, కాబట్టి అవి జ్ఞాపక శక్తి (memory/recall) స్థాయిని పరీక్షిస్తాయి. భావ ప్రకటన, చిత్రలేఖనాన్ని వ్యాస, చిత్ర ప్రశ్నలు పరీక్షిస్తాయి. సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

The initial key marks Assessment, as continuous and comprehensive evaluation (CCE) is carried out through ongoing assessment of the learner's scholastic and co-scholastic growth. Evaluation also fits, so the question is arguable; the answer follows the key.

అధికారిక కీ ప్రకారం మదింపు (Assessment); నిరంతర సమగ్ర మూల్యాంకనం (CCE)లో విద్యార్థి విద్యా, విద్యేతర ఎదుగుదలను నిరంతరం మదింపు చేస్తారు. మూల్యాంకనం కూడా సరిపోతుంది కాబట్టి ప్రశ్న వివాదాస్పదం; సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.

Formative evaluation is continuous, done during teaching, and the oral test is the quick and frequent tool used for it. Written tests and practicals are used less often, and rating scales are non-test tools. The answer follows the key.

రూపణ (formative) మూల్యాంకనం నిరంతరం, బోధన సమయంలోనే జరుగుతుంది; దీనికి మౌఖిక పరీక్ష వేగంగా, తరచుగా ఉపయోగించే సాధనం. వ్రాత పరీక్షలు, ప్రయోగాలు తక్కువసార్లు వాడతారు; నిర్ధారణ మాపని పరీక్షేతర సాధనం. సమాధానం కీని అనుసరిస్తుంది.