సంభావ్యత (Probability)

9వ తరగతిలో ప్రయోగాత్మక (experimental/empirical) సంభావ్యత నేర్చుకున్నాం: P(E) = (ఈవెంట్ జరిగిన ట్రయల్స్ సంఖ్య) ÷ (మొత్తం ట్రయల్స్). ఈ అధ్యాయంలో సైద్ధాంతిక (theoretical) లేదా సాంప్రదాయ (classical) సంభావ్యత చదువుతాం – ప్రయోగాన్ని పదేపదే చేయకుండా, కొన్ని ఊహల ఆధారంగా సంభావ్యతను నేరుగా లెక్కించడం.

• యాదృచ్ఛిక ఎగరవేత (random toss): నాణెం ఎటువంటి పక్షపాతం/జోక్యం లేకుండా స్వేచ్ఛగా పడాలి.
• నిష్పక్షపాత నాణెం (fair/unbiased coin):
  1. సౌష్ఠవంగా ఉండి, ఒక వైపు ఎక్కువగా పడడానికి కారణం లేనిది. పుస్తకంలో "నాణెం" అంటే ఎల్లప్పుడూ fair coin
  2. "పాచిక (die)" అంటే fair die.
• నాణెం రెండు విధాలుగానే పడుతుంది: బొమ్మ (Head) లేదా బొరుసు (Tail) (అంచు మీద నిలబడే అవకాశాన్ని విస్మరిస్తాం).
• ప్రయోగాత్మక సంభావ్యత పరిమితులు: ప్రయోగాన్ని పునరావృతం చేయడం ఖరీదైనది/అసాధ్యం కావచ్చు (ఉదా: ఉపగ్రహ ప్రయోగం విఫలమయ్యే సంభావ్యత, భూకంపంలో బహుళ అంతస్తుల భవనం కూలే సంభావ్యత). అలాంటప్పుడు ఊహల ద్వారా ఖచ్చితమైన (exact) సైద్ధాంతిక సంభావ్యత కనుగొంటాం.
• సమ సంభావ్య ఫలితాలు (equally likely outcomes) అనే ఊహ నాణెం, పాచిక వంటి ప్రయోగాల్లో చెల్లుతుంది.
• ఈ నిర్వచనాన్ని పియరీ సైమన్ లాప్లాస్ (Pierre Simon Laplace) 1795లో ఇచ్చాడు.
• చారిత్రక నేపథ్యం: సంభావ్యత సిద్ధాంతం 16వ శతాబ్దంలో ఇటాలియన్ వైద్యుడు-గణిత శాస్త్రవేత్త J. కార్డాన్ (Cardan) రాసిన మొదటి పుస్తకం "The Book on Games of Chance"తో మొదలైంది. జేమ్స్ బెర్నౌలీ (1654–1705), ఎ. డి మోయివ్రే (1667–1754), లాప్లాస్ (1749–1827) ముఖ్య కృషి చేశారు. ఇప్పుడు జీవశాస్త్రం, ఆర్థికశాస్త్రం, జన్యుశాస్త్రం, భౌతికశాస్త్రం, సామాజికశాస్త్రం మొదలైన రంగాల్లో వాడతారు.

సంభావ్యతలో వాడే ప్రాథమిక పదాలు ఒక్కొక్కటి స్పష్టంగా తెలియాలి. పుస్తకం వీటిని ఉదాహరణల ద్వారా ఇచ్చింది.

ముఖ్య పదాలు

• ప్రయోగం (Experiment): నాణెం ఎగరవేయడం, పాచిక వేయడం, సంచిలోంచి బంతి తీయడం, పేక కట్టలోంచి కార్డు తీయడం మొదలైన చర్య.
• ఫలితం (Outcome):
  1. ప్రయోగంలో వచ్చే ఒక్కో సాధ్యమైన ఫలితం. నాణెంలో H, T
  2. పాచికలో 1,2,3,4,5,6.
• సాధ్యమైన మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య (all possible outcomes): P(E) హారం (denominator).
• ఈవెంట్ (Event): ఫలితాల ఒక సమూహం. ఉదా: పాచికపై "4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య" ఈవెంట్ E కి అనుకూల ఫలితాలు (favourable outcomes) = {5, 6}.
• అనుకూల ఫలితాలు (favourable outcomes):
  1. ఈవెంట్ జరగడానికి దోహదపడే ఫలితాలు
  2. P(E) లవం (numerator).
• ప్రాథమిక ఈవెంట్ (elementary event): కేవలం ఒకే ఫలితం ఉన్న ఈవెంట్. నాణెంలో "బొమ్మ" లేదా "బొరుసు" elementary. పాచికలో "సంఖ్య >4" (2 ఫలితాలు), "సంఖ్య ≤4" (4 ఫలితాలు) elementary కావు.

ఈవెంట్ల ఉదాహరణలు

• నాణెం: E = బొమ్మ → అనుకూల ఫలితాలు 1, మొత్తం 2.
• పాచిక: F = సంఖ్య ≤ 4 → అనుకూల 4 (1,2,3,4), మొత్తం 6.

ప్రతి ఫలితానికి జరిగే అవకాశం సమానంగా ఉంటే వాటిని సమ సంభావ్య ఫలితాలు (equally likely outcomes) అంటారు. సైద్ధాంతిక సంభావ్యత సూత్రం ఈ ఊహపైనే ఆధారపడుతుంది.

ఉదాహరణలు

• నాణెం: బొమ్మ, బొరుసు – రెండూ సమ సంభావ్యం.
• పాచిక: 1,2,3,4,5,6 – ప్రతి సంఖ్యకు సమాన అవకాశం.
• సమ సంభావ్యం కానివి: సంచిలో 4 ఎరుపు, 1 నీలి బంతి ఉంటే "ఎరుపు" రావడానికి అవకాశం ఎక్కువ కాబట్టి "ఎరుపు బంతి" – "నీలి బంతి" ఫలితాలు సమ సంభావ్యం కావు. అయితే ఏదైనా ఒక బంతిని తీయడం (5 బంతుల్లో ఏదైనా) సమ సంభావ్యం.
• అందుకే అన్ని ప్రయోగాలకూ సమ సంభావ్య ఫలితాలు ఉండవు. ఈ అధ్యాయంలో మాత్రం అన్ని ప్రయోగాలు సమ సంభావ్యమని భావిస్తాం.

సమ సంభావ్యతను నిర్ధారించే పదాలు

• "well-shuffled deck" (బాగా కలిపిన పేక) → సమ సంభావ్యత నిశ్చయం.
• "at random" (యాదృచ్ఛికంగా) = అన్ని వస్తువులకు సమాన అవకాశం.
• "without looking" (చూడకుండా) → సమ సంభావ్యం.
• "fair die/coin" (నిష్పక్షపాత).

వ్యాయామ ప్రశ్న 2 (Exercise 14.1 Q2): (i) కారు స్టార్ట్ అవడం/కాకపోవడం, (ii) బాస్కెట్‌బాల్ షాట్ వేయడం/తప్పడం – సమ సంభావ్యం కావు (రెండు ఫలితాలకు సమాన అవకాశం ఉందని చెప్పలేం). (iii) నిజ-తప్పు ప్రశ్నకు సరైన/తప్పు జవాబు, (iv) శిశువు జననంలో బాబు/పాప – సమ సంభావ్యమని తీసుకోవచ్చు. వ్యాయామ ప్రశ్న 3: ఫుట్‌బాల్ ఆరంభంలో బంతి ఏ జట్టుకో నిర్ణయించడానికి నాణెం ఎగరవేత న్యాయమైన పద్ధతి – ఎందుకంటే బొమ్మ, బొరుసు సమ సంభావ్యం.

నిర్వచనం: ఫలితాలు సమ సంభావ్యమైతే, ఈవెంట్ E సంభావ్యత

P(E) = E కి అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య ÷ ప్రయోగంలో సాధ్యమైన మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య

ఉదాహరణ 1 (నాణెం): E = బొమ్మ. అనుకూలం 1, మొత్తం 2 ⇒ P(head) = 1/2. అలాగే P(tail) = 1/2.

ఉదాహరణ 2 (సంచిలో 3 బంతులు): ఒక ఎరుపు, ఒక నీలి, ఒక పసుపు బంతి (ఒకే పరిమాణం). చూడకుండా ఒకటి తీస్తే సమ సంభావ్యం. మొత్తం ఫలితాలు 3.

• P(yellow) = 1/3, P(red) = 1/3, P(blue) = 1/3.

ఉదాహరణ 3 (పాచిక): ఒక్కసారి వేస్తే మొత్తం ఫలితాలు 6.

• (i) సంఖ్య > 4: అనుకూలం {5,6} = 2 ⇒ P = 2/6 = 1/3.
• (ii) సంఖ్య ≤ 4: అనుకూలం {1,2,3,4} = 4 ⇒ P = 4/6 = 2/3.

గణన దశలు (Step method)

• దశ 1: మొత్తం ఫలితాలు (n) లెక్కించు.
• దశ 2: ఈవెంట్‌కు అనుకూల ఫలితాలు (m) లెక్కించు.
• దశ 3:
  1. P = m/n
  2. సరళీకరించు.
• దశ 4: జవాబు 0 మరియు 1 మధ్యలో ఉందో చూడు.

ఒకే ఫలితం ఉన్న ఈవెంట్ elementary event. ఒక ప్రయోగంలోని అన్ని ప్రాథమిక ఈవెంట్ల సంభావ్యతల మొత్తం 1. ఇది సాధారణంగా కూడా నిజం.

పుస్తకంలోని ఉదాహరణలు

• నాణెం: P(head) + P(tail) = 1/2 + 1/2 = 1.
• 3 బంతులు: P(Y) + P(R) + P(B) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1.
• పాచిక: 6 ఫలితాలు × 1/6 = 1.
• పెట్టెలో 3 నీలి, 2 తెల్ల, 4 ఎరుపు గోళీలు (ఉదాహరణ 8): మొత్తం 3+2+4 = 9. P(white) = 2/9, P(blue) = 3/9 = 1/3, P(red) = 4/9. మొత్తం: 2/9 + 3/9 + 4/9 = 1.

వ్యాయామ ప్రశ్న 1 పూరణలు (Exercise 14.1 Q1)

• (i) P(E) + P(not E) = 1
• (ii) అసాధ్యమైన ఈవెంట్ సంభావ్యత 0
• దాన్ని impossible event అంటారు.
• (iii) ఖాయమైన ఈవెంట్ సంభావ్యత 1
• దాన్ని sure/certain event అంటారు.
• (iv) అన్ని elementary ఈవెంట్ల సంభావ్యతల మొత్తం 1.
• (v) ఈవెంట్ సంభావ్యత 0 కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం, 1 కంటే తక్కువ లేదా సమానం.

తనిఖీ షార్ట్‌కట్

• అన్ని రకాల సంభావ్యతలు కూడితే 1 రావాలి – సమాధానం సరైనదో ఇలా పరీక్షించండి.
• రకాల వారీ సంఖ్యలు ఇచ్చి "మొత్తం" కావాలంటే వాటిని కూడండి (ఉదా: 3+2+4 = 9).

E అనే ఈవెంట్ జరగకపోవడాన్ని "E కాదు" (not E) అంటారు; దీన్ని E̅ (E-bar) తో సూచిస్తారు. ఇది E యొక్క పూరక ఈవెంట్ (complement). E, E̅ లను complementary events అంటారు.

P(E) + P(E̅) = 1 ⇒ P(not E) = 1 − P(E)

కారణం: E కి అనుకూలం కాని ఫలితాలన్నీ E̅ కి అనుకూలం; అనుకూల ఫలితాలు m + (n − m) = n.

పుస్తకంలోని ఉదాహరణలు

• నాణెం:
  1. E = బొమ్మ, F = బొరుసు
  2. F = not E. P(E) + P(F) = 1.
• పాచిక:
  1. E = సంఖ్య > 4, F = సంఖ్య ≤ 4 ("4 కంటే ఎక్కువ కాదు" = "≤ 4"). P(E) = 1/3, P(F) = 2/3
  2. మొత్తం 1.
• ఉదాహరణ 4 (పేక): ఏస్: అనుకూలం 4, మొత్తం 52 ⇒ P(ace) = 4/52 = 1/13. ఏస్ కాని కార్డ్: 52 − 4 = 48 ⇒ P = 48/52 = 12/13. లేదా 1 − 1/13 = 12/13.
• ఉదాహరణ 5 (టెన్నిస్): P(సంగీత గెలుపు) = 0.62 ⇒ P(రేష్మ గెలుపు) = 1 − 0.62 = 0.38.
• ఉదాహరణ 7 (తరగతి):
  1. 40 మందిలో 25 బాలికలు, 15 బాలురు. P(girl) = 25/40 = 5/8
  2. P(boy) = 15/40 = 3/8 (లేదా 1 − 5/8 = 3/8).
• ఉదాహరణ 9 (రెండు నాణేలు, కనీసం ఒక బొమ్మ): ఫలితాలు HH, HT, TH, TT (4). కనీసం ఒక బొమ్మ: HH, HT, TH = 3 ⇒ 3/4. షార్ట్‌కట్: 1 − P(బొమ్మ లేదు) = 1 − 1/4 = 3/4.
• వ్యాయామం Q5: P(E) = 0.05 ⇒ P(not E) = 0.95.
• వ్యాయామం Q7: 3 విద్యార్థుల్లో "ఇద్దరికి ఒకే పుట్టినరోజు కాదు" సంభావ్యత 0.992 ⇒ ఒకే పుట్టినరోజు = 1 − 0.992 = 0.008.

అసాధ్యమైన ఈవెంట్ (Impossible event): జరగడానికి అవకాశమే లేని ఈవెంట్; సంభావ్యత 0. ఉదాహరణ: ఒక పాచిక వేస్తే "8 రావడం" – ఏ ముఖంపైనా 8 లేదు కాబట్టి అనుకూల ఫలితాలు 0 ⇒ P = 0/6 = 0.

ఖాయమైన ఈవెంట్ (Sure/Certain event): ఖచ్చితంగా జరిగే ఈవెంట్; సంభావ్యత 1. ఉదాహరణ: పాచికపై "7 కంటే తక్కువ సంఖ్య" – అన్ని ముఖాలూ 7 కంటే తక్కువ ⇒ అనుకూలం 6 = మొత్తం 6 ⇒ P = 6/6 = 1.

పరిధి (Range): అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య ఎప్పుడూ మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యకు తక్కువ లేదా సమానం కాబట్టి

0 ≤ P(E) ≤ 1

ఏ ఈవెంట్ సంభావ్యత ఋణంగా లేదా 1 కంటే ఎక్కువగా ఉండదు.

వ్యాయామ ప్రశ్న 4 (ఈవెంట్ సంభావ్యత కాగలిగేవి/కానివి)

• సరైనవి: 0 నుండి 1 మధ్య అన్ని సంఖ్యలు (ఉదా: 0.7, 2/3, 15%, 0.0001).
• సరికానివి: −1.5, 1.5, 7/5 (>1), 115% (>100%), ఏ ఋణ సంఖ్యా.
• త్వరిత పరీక్ష: భిన్నంలో లవం ≤ హారం, ధనాత్మకం కావాలి.

వ్యాయామ ప్రశ్న 6: సంచిలో నిమ్మ రుచి క్యాండీలు మాత్రమే ఉంటే

• (i) నారింజ రుచి క్యాండీ వచ్చే P = 0 (అసాధ్యం).
• (ii) నిమ్మ రుచి క్యాండీ వచ్చే P = 1 (ఖాయం).

ఒక నాణెం: ఫలితాలు H, T (2). P(H) = P(T) = 1/2.

రెండు నాణేలు (ఉదా: ₹1, ₹2) ఒకేసారి: ఫలితాలు (H,H), (H,T), (T,H), (T,T) = 4, అన్నీ సమ సంభావ్యం. (H,T) అంటే మొదటి నాణెంపై బొమ్మ, రెండోదానిపై బొరుసు.

• కనీసం ఒక బొమ్మ (at least one head): HH, HT, TH = 3 ⇒ 3/4.
• రెండు బొమ్మలు: 1/4. బొమ్మ లేదు (TT): 1/4. ఒక్కొక్కటి (HT లేదా TH): 2/4 = 1/2.

మూడు సార్లు నాణెం (ప్రశ్న 23): మొత్తం ఫలితాలు 2 × 2 × 2 = 8: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT.

• హనీఫ్ గెలుపు: మూడూ ఒకేలా (HHH లేదా TTT) = 2 ⇒ 2/8 = 1/4.
• హనీఫ్ ఓటమి = 1 − 1/4 = 3/4 (6/8).
• అదనపు విలువలు:
  1. ఖచ్చితంగా 1 బొమ్మ = 3/8
  2. ఖచ్చితంగా 2 బొమ్మలు = 3/8
  3. కనీసం 2 బొమ్మలు = 4/8 = 1/2
  4. కనీసం 1 బొమ్మ = 7/8.

ప్రశ్న 25(i) లోని తప్పు వాదన: "రెండు నాణేలు వేస్తే మూడు ఫలితాలు (రెండు బొమ్మలు, రెండు బొరుసులు, ఒక్కొక్కటి) కాబట్టి ప్రతిదాని P = 1/3" – ఇది తప్పు. ఈ మూడూ సమ సంభావ్యం కావు; 'ఒక్కొక్కటి' ఫలితం HT, TH రెండుగా వస్తుంది (P = 1/2), మిగతావి 1/4 చొప్పున.

సూత్రం: n నాణేలు వేస్తే మొత్తం ఫలితాలు = 2ⁿ (1 నాణెం: 2, 2: 4, 3: 8).

పాచిక (die) 6 ముఖాలతో కూడిన ఘనం; ఫలితాలు 1,2,3,4,5,6 – సమ సంభావ్యం. మొత్తం = 6.

సాధారణ ఈవెంట్లు

• ప్రధాన సంఖ్య (prime): {2,3,5} → 3/6 = 1/2 (1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు!)
• సంఖ్య 2 మరియు 6 మధ్య: {3,4,5} → 3/6 = 1/2
• బేసి సంఖ్య:
  1. {1,3,5} → 1/2
  2. సరి సంఖ్య: {2,4,6} → 1/2
• సంఖ్య > 4:
  1. {5,6} → 1/3
  2. సంఖ్య ≤ 4: {1,2,3,4} → 2/3
• 3 యొక్క గుణిజాలు: {3,6} → 1/3
• 8 రావడం → 0
• 7 కంటే తక్కువ → 1

ప్రశ్న 19 (అక్షరాల పాచిక): పాచిక 6 ముఖాలపై A, B, C, D, E, A అక్షరాలు ఉన్నాయి. ఒకసారి విసిరితే

• (i) P(A) = 2/6 = 1/3 (A రెండు ముఖాలపై ఉంది)
• (ii) P(D) = 1/6.

ప్రశ్న 12 (బాణం చక్రం): 1 నుండి 8 వరకు సంఖ్యలున్న చక్రంపై బాణం సమ సంభావ్యంగా ఆగితే, మొత్తం 8 ఫలితాలు.

• సంఖ్య 8 వచ్చే P = 1/8
• బేసి సంఖ్య = {1,3,5,7} = 4/8 = 1/2
• 2 కంటే ఎక్కువ సంఖ్య = {3,…,8} = 6/8 = 3/4
• 9 కంటే తక్కువ సంఖ్య = 8/8 = 1

నీలం, బూడిద రంగు రెండు పాచికలను ఒకేసారి విసిరితే మొత్తం ఫలితాలు 6 × 6 = 36. ప్రతి జంటలో మొదటి సంఖ్య నీలి పాచికది, రెండోది బూడిద పాచికది. (1,4) మరియు (4,1) వేర్వేరు ఫలితాలు.

ఉదాహరణ 13

• (i) మొత్తం 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 ⇒ 5/36.
• (ii) మొత్తం 13: ఏ ఫలితమూ లేదు ⇒ 0 (అసాధ్యం).
• (iii) మొత్తం ≤ 12: అన్ని 36 ఫలితాలు ⇒ 36/36 = 1 (ఖాయం).

పూర్తి పట్టిక (ప్రశ్న 22(i)) – మొత్తం → అనుకూల ఫలితాలు (36 లో):

• 2 → 1 | 3 → 2 | 4 → 3 | 5 → 4 | 6 → 5 | 7 → 6 | 8 → 5 | 9 → 4 | 10 → 3 | 11 → 2 | 12 → 1
• సంభావ్యతలు: 1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36. మొత్తం 36/36 = 1 (తనిఖీ).

ప్రశ్న 22(ii) – విద్యార్థి వాదన తప్పు: "మొత్తాలు 2 నుండి 12 వరకు 11 ఉన్నాయి కాబట్టి ప్రతిదాని P = 1/11" అనడం తప్పు. ఈ 11 మొత్తాలు సమ సంభావ్యం కావు (7 కి 6 మార్గాలు, 2 కి 1 మార్గం). సమ సంభావ్య ఫలితాలు 36 జంటలు.

ప్రశ్న 24: పాచికను రెండుసార్లు విసరడం = రెండు పాచికలు ఒకేసారి విసరడం (అదే 36 ఫలితాలు).

• (i) ఒక్కసారీ 5 రాకపోవడం: 5 లేని జంటలు 5 × 5 = 25 ⇒ 25/36.
• (ii) కనీసం ఒక్కసారి 5: 1 − 25/36 = 11/36.

పేక కట్ట (deck) నిర్మాణం (పుస్తకం ప్రకారం)

• మొత్తం 52 ముక్కలు, 4 suits × 13: స్పేడ్స్ (♠), హార్ట్స్ (♥), డైమండ్స్ (♦), క్లబ్స్ (♣).
• క్లబ్స్, స్పేడ్స్ = నలుపు రంగు
• హార్ట్స్, డైమండ్స్ = ఎరుపు రంగు.
• ప్రతి suit లో: ace, king, queen, jack, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2.
• King, Queen, Jack = face cards → మొత్తం 3 × 4 = 12.

ఉదాహరణ 4: బాగా కలిపిన 52 ముక్కల పేక నుండి ఒక కార్డు తీస్తే "well-shuffled" వల్ల ఫలితాలు సమ సంభావ్యం.

• (i) ఏస్: 4/52 = 1/13. (ii) ఏస్ కాదు: 48/52 = 12/13.

వ్యాయామ ప్రశ్న 14 – సమాధానాలు (అనుకూలం/52)

• (i) ఎరుపు రాజు: 2/52 = 1/26
• (ii) face card: 12/52 = 3/13
• (iii) ఎరుపు face card: 6/52 = 3/26
• (iv) హార్ట్స్ జాక్: 1/52
• (v) స్పేడ్: 13/52 = 1/4
• (vi) డైమండ్స్ రాణి: 1/52

అదనపు ఉపయోగకర విలువలు: ఎరుపు కార్డు 26/52 = 1/2; రాజు 4/52 = 1/13; రాజు లేదా రాణి 8/52 = 2/13; హార్ట్ కాని, రాజు కాని కార్డు: 52 − (13 + 3) = 36 ⇒ 9/13.

ప్రశ్న 15 (5 కార్డుల సమస్య): డైమండ్స్‌లో 10, J, Q, K, A అనే 5 కార్డులను కలిపి, ముఖం కిందకు పెట్టి ఒకటి తీస్తే

• (i) రాణి: 1/5.
• (ii) రాణిని తీసి పక్కన పెడితే మిగిలినవి 4:
  1. (a) ఏస్ వచ్చే P = 1/4
  2. (b) రాణి వచ్చే P = 0 (రాణి లేదు ⇒ అసాధ్యం).

"చూడకుండా/యాదృచ్ఛికంగా తీయడం" ఉదాహరణలు ఒకే విధానంలో సాగుతాయి: మొత్తం = అన్ని రకాల వస్తువుల సంఖ్యల మొత్తం; అనుకూలం = కావలసిన రకం సంఖ్య.

పుస్తకం ప్రశ్నలు – ఫలితాలు

• Q8:
  1. 3 ఎరుపు, 5 నలుపు బంతులు (8): P(red) = 3/8
  2. P(not red) = 5/8.
• Q9:
  1. 5 ఎరుపు, 8 తెల్ల, 4 ఆకుపచ్చ గోళీలు (17): P(red) = 5/17
  2. P(white) = 8/17
  3. P(not green) = 13/17.
• Q10 (పిగ్గీ బ్యాంక్):
  1. 50 పైసల నాణేలు 100, ₹1 నాణేలు 50, ₹2 నాణేలు 20, ₹5 నాణేలు 10 (మొత్తం 180): P(50p) = 100/180 = 5/9
  2. P(₹5 కాదు) = 170/180 = 17/18.
• Q11: 5 మగ, 8 ఆడ చేపలు (13): P(male) = 5/13.
• Q16: 12 లోపభూయిష్ట + 132 మంచి పెన్నులు = 144: P(good) = 132/144 = 11/12.
• Q17: 20 బల్బుల్లో 4 లోపం గలవి: (i) P(defective) = 4/20 = 1/5. (ii) తీసిన మంచి బల్బును తిరిగి పెట్టకపోతే మిగిలినవి 19 (లోపం 4, మంచివి 15): P(not defective) = 15/19.
• Q21:
  1. 144 బాల్‌పెన్నుల్లో 20 లోపం గలవి: (i) కొంటుంది (మంచిది) = 124/144 = 31/36
  2. (ii) కొనదు = 20/144 = 5/36.
• Q18:
  1. 1 నుండి 90 వరకు సంఖ్యల బిళ్లలు (90): (i) రెండంకెల సంఖ్య: 10…90 = 81 ⇒ 81/90 = 9/10
  2. (ii) వర్గ సంఖ్యలు: 1,4,9,16,25,36,49,64,81 = 9 ⇒ 1/10
  3. (iii) 5 చే భాగించబడేవి: 5,10,…,90 = 18 ⇒ 1/5.
• ఉదాహరణ 12 (చొక్కాల కార్టన్): 100 చొక్కాలు: 88 మంచివి, 8 చిన్న లోపం, 4 పెద్ద లోపం. జిమ్మీ మంచివే తీసుకుంటాడు (88/100 = 0.88). సుజాత పెద్ద లోపం లేనివి తీసుకుంటుంది (88 + 8 = 96/100 = 0.96).

కీలక భావన – తిరిగి వేయడం vs వేయకపోవడం: పక్కన పెడితే రెండో ప్రయత్నానికి మొత్తం ఒకటి తగ్గుతుంది.

ఉదాహరణ 6 (పుట్టినరోజులు): సవిత, హమీదా స్నేహితులు (లీప్ సంవత్సరం విస్మరించి 365 రోజులు, సమ సంభావ్యం).

• సవిత పుట్టినరోజు ఏదైనా కావచ్చు. హమీదా పుట్టినరోజు వేరుగా ఉండడానికి అనుకూలం 365 − 1 = 364.
• P(వేర్వేరు పుట్టినరోజులు) = 364/365.
• P(ఒకే పుట్టినరోజు) = 1 − 364/365 = 1/365.

ఉదాహరణ 5 (టెన్నిస్ మ్యాచ్): ఇద్దరిలో ఒకరే గెలుస్తారు కాబట్టి గెలుపులు పూరక ఈవెంట్లు. P(S) = 0.62 ⇒ P(R) = 0.38.

ఉదాహరణ 7 (క్లాస్ ప్రతినిధి): 40 మందిలో 25 బాలికలు, 15 బాలురు; పేర్ల కార్డులు కలిపి ఒకటి తీస్తే P(girl) = 25/40 = 5/8, P(boy) = 15/40 = 3/8.

ఉదాహరణ 12: ఒకే గుంపుకు వేర్వేరు వ్యక్తులకు "అనుకూలం" నిర్వచనం వేరుగా ఉంటుంది (జిమ్మీ 88, సుజాత 96). ముందు ఏ ఫలితాలు అనుకూలమో నిర్ణయించాలి.

అనంత ఫలితాలు – జ్యామితీయ సంభావ్యత (Geometric probability) రెండు సంఖ్యల మధ్య ఏ సంఖ్యయైనా లేదా వృత్తంలోని ప్రతి బిందువైనా ఫలితమైతే ఫలితాలు అనంతం; అప్పుడు సాధారణ సూత్రం నేరుగా వాడలేం. పరిష్కారం: పొడవు లేదా వైశాల్యాల నిష్పత్తి.

• ఉదాహరణ 10* (మ్యూజికల్ చైర్): సంగీతం 2 నిమిషాల్లో ఎప్పుడైనా ఆగవచ్చు. మొదటి అర నిమిషంలో ఆగే P = అనుకూల దూరం / మొత్తం దూరం = (1/2)/2 = 1/4.
• ఉదాహరణ 11* (హెలికాప్టర్): దీర్ఘచతురస్ర ప్రాంతం 4.5 కి.మీ × 9 కి.మీ = 40.5 చ.కి.మీ.
• సరస్సు 2.5 × 3 = 7.5 చ.కి.మీ. P(సరస్సులో పడింది) = 7.5/40.5 = 5/27.
• ప్రశ్న 20*: 3 మీ × 2 మీ దీర్ఘచతురస్రంపై పాచికను జార విడిస్తే 1 మీ వ్యాసం వృత్తంలో పడే P = (π × 0.5²)/6 = π/24.
• ఈ మూడూ పుస్తకంలో * గుర్తుతో ఉన్నాయి: "పరీక్షా దృష్టికోణం నుండి కాదు" (Not from the examination point of view).

చాప్టర్ సారాంశం (Summary) – 6 అంశాలు

• 1. P(E) = అనుకూల ఫలితాలు / మొత్తం ఫలితాలు (సమ సంభావ్య ఫలితాలు).
• 2. ఖాయమైన ఈవెంట్ సంభావ్యత = 1.
• 3. అసాధ్యమైన ఈవెంట్ సంభావ్యత = 0.
• 4. 0 ≤ P(E) ≤ 1.
• 5. Elementary events సంభావ్యతల మొత్తం = 1.
• 6. P(E) + P(E̅) = 1
• E, E̅ పూరక ఈవెంట్లు.

ఎన్ని ఫలితాలు? (Sample space size)

• 1 నాణెం 2
• 2 నాణేలు 4
• 3 నాణేలు 8 (2ⁿ).
• 1 పాచిక 6
• 2 పాచికలు 36
• 3 పాచికలు 216 (6ⁿ).
• పేక 52 (13 × 4).

త్వరిత పట్టిక

• రెండు పాచికల మొత్తం 7 → 6/36 = 1/6
• 8 → 5/36
• 9 → 4/36 = 1/9
• 10 → 3/36 = 1/12
• 11 → 2/36 = 1/18
• 12 → 1/36.
• రెండు పాచికల మొత్తం సరి → 1/2
• రెండు సమాన సంఖ్యలు (doubles) → 1/6.
• పేక:
  1. ఏస్ 1/13
  2. face card 3/13
  3. ఎరుపు కార్డు 1/2
  4. స్పేడ్ 1/4
  5. ఒక నిర్దిష్ట కార్డు 1/52.

సమస్య పరిష్కార పద్ధతులు

• "కనీసం ఒకటి" → 1 − P(ఏదీ లేదు).
• "కాదు (not)" → 1 − P(E).
• వేర్వేరు రకాల వస్తువులు ఇస్తే మొత్తం = సంఖ్యల మొత్తం.
• ఇచ్చిన P(E) నుండి వస్తువుల సంఖ్య కనుగొనడానికి సమీకరణం (ఉదా:
  1. 5 ఎరుపు, x నీలి
  2. P(red) = 1/4 ⇒ 5/(5+x) = 1/4 ⇒ x = 15).

పుస్తకంలోని జాగ్రత్తలు

• ప్రయోగాత్మక సంభావ్యత ట్రయల్స్ పెరిగే కొద్దీ సైద్ధాంతికానికి దగ్గరవుతుంది.
• ప్రశ్న 25(ii):
  1. పాచికలో బేసి/సరి రెండు ఫలితాలు కాబట్టి P(బేసి) = 1/2 – వాదన సరైనదే
  2. ఎందుకంటే రెండింటికీ చెరో 3 ఫలితాలు (సమ సంభావ్యం). కానీ ప్రశ్న 25(i) (రెండు నాణేలకు మూడు ఫలితాలు, చెరో 1/3) తప్పు.